: 1/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 = [ (x+1)(x+7) ].[ (x+3)(x+5) ] + 15
= (x² + 7x + x + 7).(x² + 5x + 3x + 15) + 15
= (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15
= (x² + 8x + 11 - 4)(x² + 8x + 11 + 4) + 15. Đặt x² + 8x + 11 = y (1) ta được.
(t - 4)(t + 4) + 15 = t² - 16 + 15 = t² - 1 = (t+1)(t-1) (2).
Thay (1) vào (2) ta được: đa thức trên được phân tích thành:
(x² + 8x + 11 + 1)(x² + 8x + 11 - 1) = x² + 8x + 12)(x² + 8x + 10).
Lưu ý: phương pháp này có tên là "Đặt ẩn phụ".
2/ x^7 - x² - 1 = x^7 - x² - 1 + x - x = (x^7 - x) + (-x² + x - 1)
= x(x^6 - 1) - (x² - x + 1) = x(x³ - 1)(x³ + 1) - (x² - x + 1)
= (x^4 - x)(x + 1)(x² - x + 1) - (x² - x + 1)
= (x² - x + 1).[ (x^4 - x)(x + 1) - 1 ]
= (x² - x + 1).(x^5 + x^4 - x² - x - 1).
3/ x^4 + 4y^4 = x^4 + 4y^4 + 4x²y² - 4x²y²
= (x^4 + 4x²y² + 4y^4) - (2xy)²
= (x² + 2y²)² - (2xy)² = [ (x² + 2y²) + (2xy) ].[ (x² + 2y²) - (2xy) ]
= (x² + 2xy + 2y²).(x² - 2xy + 2y²)
4/ x^5 + x + 1 = x^5 + x + 1 + x² - x²
= (x^5 - x²) + (x² + x + 1) = x²(x³ - 1) + (x² + x + 1)
= x²(x - 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1) = (x² + x + 1).[ x²(x - 1) + 1 ]
= (x² + x + 1).(x³ - x² + 1).
5/ x^5 + x - 1 = x^5 + x - 1 + x² - x² = (x^5 + x²) + (-x² + x - 1)
= x²(x³ + 1) - (x² + x - 1) = x²(x + 1)(x² - x + 1) - (x² - x + 1)
= (x² - x + 1).[ x²(x + 1) - 1 ] = (x² - x + 1).(x³ + x² - 1).
6/ (x² + y² - z²)² - 4x²y² = (x² + y² - z²)² - (2xy)²
= [ (x² + y² - z²) - 2xy ].[ (x² + y² - z²) + 2xy ]
= [ x² + y² - z² - 2xy ].[ x² + y² - z² + 2xy ]
= [ (x² - 2xy + y²) - z² ].[ (x² + 2xy + y²) - z² ]
= [ (x - y)² - z² ].[ (x + y)² - z² ] = (x-y+z)(x-y-z)(x+y+z)(x+y-z).
Mong bạn sẽ hiểu
