Question

ai biết giúp mình với mai ktra rồi .Chứng minh với mọi x, y:\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
cho x,y > 0. Chứng minh : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
cho x²+y²=1.Chứng minh: \(\left(x+y\right)^2\le2\)

Answer 1

a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM) 

*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2  >= 0 ;  x^2  +xy +y^2 > 0

Answer 2

mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé

Answer 3

ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

<=> \(x^2+y^2\ge2xy\)

<=>\(x^2+y^2+2xy\ge4xy\)

<=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

<=>\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Answer 4

b) 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)(Cosi rồi) 

Answer 5

ông nguyễn xuân anh làm ra rồi mà? cách ông dễ hiểu đấy câu b đó câu chuyển vế là xong rồi còn gì?

Answer 6

giả thuyết x, y > 0 

Answer 7

c) \(\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le2\)

\(\Leftrightarrow1+2xy\le2\)

\(\Leftrightarrow1-2xy\ge0\)(chuyển vế) 

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(DPCM\right)\)

Answer 8

là sao nhỉ ý tui là cứ theo hằng đẵng thức thôi 
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

<=> x^2+2xy-4xy+y^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vậy ...........

Answer 9

cái đó tui cx thấy rồi!? nhưng giả thuyết cho thì tui dùng!! bt là thế 

Answer 10

 cảm mơn nha

Answer 11

c, Ta cần cm: \(\left(x+y\right)^2\le2\)           (1)

<=> \(\left(x+y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right).2\)

<=>\(x^2+2xy+y^2\le2x^2+2y^2\)

<=>\(-x^2+2xy-y^2\le0\)

<=>\(-\left(x-y\right)^2\le0\)          (2)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)nên \(-\left(x-y\right)^2\le0\)=>(2) luôn đúng nên (1) luôn đúng.