Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ Mạnh Đức Đạt

a,Chứng tỏ rằng: M=75.(\(4^{2107}\)+\(4^{2016}\)+...+\(4^2\)+4+1)+25 chia hết cho \(10^2\)

b,cho tích a.b là số chính phương và (a,b)=1.Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương

Mặc Chinh Vũ
10 tháng 3 2019 lúc 20:01

\(a)M=75.\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(\Rightarrow M=\left(25.3\right).\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(\Rightarrow M=25.\left(4-1\right).\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)\)

\(\Rightarrow M=25.\left[4\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)-\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^4+4+1\right)\right]+25\)

\(\Rightarrow M=25.\left[\left(4^{2018}+4^{2017}+...+4^2+4+1\right)-\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)\right]+25\)

\(\Rightarrow M=25.\left(4^{2018}-1\right)+25\)

\(\Rightarrow M=25.4^{2018}-25+25\)

\(\Rightarrow M=25.4^{2018}=\left(25.4\right).4^{2017}=100.4^{2017}=10^2.4^{2017}⋮10^2\)

\(\text{Vậy }M⋮10^2\left(đpcm\right)\)

\(b)\text{ Đặt }ab=c^2\text{ và }\left(a,\text{ }c\right)=d\left(d\in N^{\circledast}\right)\)

\(-\text{Ta có: }\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\c⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=md\\c=nd\end{matrix}\right.\text{ với }\left(m;n\right)=1\)

\(-\text{Thay vào }ab=c^2\text{, ta được }mdb=\left(nd\right)^2=n^2.d^2\)

\(\Rightarrow mb=n^2.d\)

\(\Rightarrow b⋮n^2,\text{ vì }\left(a;b\right)=1=\left(b;d\right)\)

\(-\text{Mà: }n^2⋮b\text{ nên suy ra }n^2=b\)

\(-\text{Thay vào }ab=c^2,\text{ ta được }a=d^2\)

\(\RightarrowĐpcm\)


Các câu hỏi tương tự
dream XD
Xem chi tiết
BÍCH THẢO
Xem chi tiết
BÍCH THẢO
Xem chi tiết
Nghĩa Dương
Xem chi tiết
Thuy Tran
Xem chi tiết
BÍCH THẢO
Xem chi tiết
Monkey D Luffy
Xem chi tiết
crewmate
Xem chi tiết
crewmate
Xem chi tiết