Question

△ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a, △AEC đồng dạng △ABD

b, △ADE đồng dạng △ABC

c, BE . AB + CD. AC = BC²

d, Có AF ∩ DE tại I. Chứng minh HI. AF = AI. HF 

Answer 1

a) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta ADB\) có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\widehat{AEC}=\widehat{ADB}\left(=90^o\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta AEC\) đồng dạng  \(\Delta ADB\) (g.g)

b)  Ta có : \(\Delta AEC\) đồng dạng   \(\Delta ADB\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\) đồng dạng \(\Delta ABC\) (c.g.c)

c)  Xét  \(\Delta ABF\) và \(\Delta CBE\) có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{B}hung\\\widehat{AFB}=\widehat{CEB}=90^o\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ABF\) đồng dạng \(\Delta CBE\) (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{BF}{BE}\Rightarrow BE\cdot AB=BC\cdot BF\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\Delta BDC\) đồng dạng \(\Delta AFC\) (g.g)

\(\Rightarrow\frac{DC}{FC}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow CD\cdot AC=FC\cdot BC\)

Khi đó : \(BE.AB+CD.AC=BF.BC+FC.BC=BC.BC=BC^2\)

 

Answer 2

a, Xét \(\Delta AEC\)và \(\Delta ABD\)có 

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\widehat{A}chung\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta AEC\)\(đồng dạng\)\(\Delta ABD\)(g.g)

b, Vì  \(\Delta AEC\)\(đồng dạng\)\(\Delta ABD\)(g.g) nên \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta ABC\)có

​​​​​​​​\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)​,\(\widehat{A}\)chung

\(\Rightarrow\)​\(\Delta ADE\)​đồng dạng \(\Delta ABC\)(c.g.c)

Các câu còn lại khi nào rảnh giải tiếp :P