Hai tam giác vuông ABM và ACN chung góc A nên đồng dạng
\(\Rightarrow\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ABC\Rightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}\)
Trong tam giác vuông ABM: \(cosA=\frac{AM}{AB}\Rightarrow\frac{AM}{AB}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MN=10\sqrt{2}\)
Hai tam giác AMN và ABC đồng dạng theo tỉ số \(k=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}=k^2.S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
\(S_{BCMN}=S_{ABC}-S_{AMN}=S_{ABC}-\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}=S_{BCMN}\)