Question

\(A=2+2\sqrt{28n^2+1}\)
với n thuộc N*

CMR nếu \(\sqrt{28n^2+1}\) là số nguyên thì A là số chính phương 

Tìm công thức của n để thỏa mãn điều ở trên

Answer 1

\(\sqrt{28n^2+1}=k\)

\(A=2k+2=4\left(\frac{k+1}{2}\right)\)

\(k^2=28n^2+1\)

\(k^2-1=28n^2\)

\(\frac{k^2-1}{28}=n^2\)

Suy ra\(k^2-1\)chia hết cho 7 vì tử nguyên mẫu nguyên mà thương cũng nguyên nên tử chia hết cho mẫu mà 28 chia hết cho 7

\(k^2\equiv1\left(mod7\right)\)

\(k\equiv1\)(mod7)

k-1 chia hết cho 7

Có \(n^2=\frac{k^2-1}{28}=\left(\frac{k-1}{14}\right)\left(\frac{k+1}{2}\right)\)

2 số trên nguyên tố cùng nhau

mà tích là số chính phương nên 2 số trên đều là số chính phương

(k+1)/2 chính phương

\(A=4\left(\frac{k+1}{2}\right)\)tích 2 số cp nên a cp