Question

a) Tính tổng sau: S = 1 + 4 + 4² + 4³ +....+4¹⁰⁰

b) Tìm chữ số tận cùng của tổng: A = 5 + 5² + 5³ +....+ 5⁹⁶

Answer 1

a) Ta có: \(S=1+4+4^2+...+4^{100}\)

\(\Rightarrow4S=4+4^2+4^3+...+4^{101}\)

\(\Leftrightarrow4S-S=\left(4+4^2+...+4^{101}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow3S=4^{101}-1\)

\(\Rightarrow S=\frac{4^{101}-1}{3}\)

b) Tương tự phần a ta tính được: \(A=\frac{5^{97}-5}{4}\)

Ta có: \(5^{97}-5=\overline{...5}-5=\overline{...0}\)

Đến đây thì A sẽ có cstc là 0 hoặc 4

Answer 2

a) S = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰

=> 4S = 4( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰ )

           = 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰¹

=> 4S - S = 3S

= 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰¹ - ( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰ )

= 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰¹ - 1 - 4 - 4² - 4³ - ... - 4¹⁰⁰ 

= 4¹⁰¹ - 1

=> S = (4¹⁰¹ - 1 )/3

b) A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁹⁶

= ( 5 + 5² ) + ( 5³ + 5⁴ ) + ... + ( 5⁹⁵ + 5⁹⁶ )

= 30 + 5²( 5 + 5² ) + ... + 5⁹⁴( 5 + 5² )

= 30 + 5².30 + ... + 5⁹⁴.30

= 30( 1 +  5² + ... + 5⁹⁴ ) chia hết cho 10 ( vì 30 chia hết cho 10 )

=> A có tận cùng là 0

Answer 3

\(a)S=1+4+4^2+4^3+...+4^{100}\)

\(4S=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{101}\)

\(4S-S=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{101}-1-4-4^2-4^3-...-4^{100}\)

\(3S=4^{101}-1\)

\(S=4^{401}-\frac{1}{3}\)

Vậy S = \(4^{401}-\frac{1}{3}\)

b) \(5+5^2+5^3+...+5^{96}\)

Vì có tất cả 96 số hạng nên mỗi lũy thừa đều tận cùng là 5 , mỗi số hạng là lũy thừa của 5 nên => Chữ số tận cùng của A là 0