a) ĐKXĐ: \(10\le x\le12\).
Ta có:
\(x^2-22x+123=\sqrt{12-x}+\sqrt{x-10}\). (1)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwars ta có:
\(\left(\sqrt{12-x}+\sqrt{x-10}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(12-x+x-10\right)=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{12-x}+\sqrt{x-10}\le2\). (2)
Đẳng thức xảy ra ở (2) khi và chỉ khi: \(\sqrt{12-x}=\sqrt{x-10}\Leftrightarrow x=11\).
Ta lại có: \(x^2-22x+123=\left(x-11\right)^2+2\ge2\). (3)
Đẳng thức xảy ra ở (3) khi và chỉ khi \(x-11=0\Leftrightarrow x=11\).
Từ (2), (3) suy ra: \(x^2-22x+123\ge\sqrt{12-x}+\sqrt{x-10}\).
Mà theo (1) thì đẳng thức xảy ra nên x = 11.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 11.
b) Do \(x,y,z\ge0;x+y+z=1\) nên \(x,y,z\le1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(VT=4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=16\left(1-x\right).\frac{1-y}{2}.\frac{1-y}{2}.\left(1-z\right)\le16\frac{\left(1-x+\frac{1-y}{2}+\frac{1-y}{2}+1-z\right)^4}{4^4}=16.\frac{2^4}{4^4}=1=x+y+z\le x+2y+z=VP\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\).
