a) gọi tam giác đó là tam giác ABC vuông tại A
Tam giác vuông ABC vuông tại A,có AM là trung tuyến
Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA=MD
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}AD\left(1\right)\)
Ta có Tứ giác ABDC là hình bình hành và góc A = 90
=>ABDC là hình chữ nhật
\(\Rightarrow AD=BC\left(2\right)\)
THAY (2) VÀO (1)
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)
Vậy trong một tam giác vuông,đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
b) ngược lại :3
a) Gọi Δ đó là ΔABC, ΔABC vuông tại A, AM là trung tuyến ΔABC
Trên tia đối MA lấy MD sao cho MD = MA
Xét ΔBMA và ΔCMD có:
MB = MC (AM: trung tuyến BC)
BMA = CMD (đối đỉnh)
MA = MD (cách vẽ)
=> ΔBMA = ΔCMD (c.g.c)
=> AB = DC (2 cạnh tương ứng)
ABM = DCM (2 góc tương ứng), mà 2 góc ở vị trí slt
=> AB // CD
Có: AB // CD, AB ⊥ AC => DC ⊥ CA
Xét ΔBAC và ΔDCA có:
BAC = DCA (cùng = 90o)
AB = CD (cmt)
AC: chung
=> ΔBAC = ΔDCA (2cgv)
=> BC = DA (2 cạnh tương ứng)
mà AM = 1/2AD => AM = 1/2BC
=> ĐPCM
b) Gọi Δ đó là ABC, AD là trung tuyến Δ, AD = 1/2BC
Do AD là trung tuyến ΔABC => DB = DC = 1/2C
Mà AD = 1/2BC
=> DB = DC = DA
=> ΔDBA và DAC là 2 Δ cân tại D
=> DBA = DAB, DCA = DAC
Xét ΔABC có: ABC + BCA + BAC = 180o (đ/lí tổng 3 góc Δ)
=> 2(DAB + DAC) = 180o
=> BAC = 90o
=> ΔABC là Δ vuông tại A
=> ĐPCM