Câu hỏi của Phạm Minh Hiếu ∞

Question

A= 1+2^2+2^3+2^4+....+2^2021

A có thể là số chính phương ko, vì sao ?

Lê Song Phương · Accepted Answer

Ta thấy $2A=2+2^3+2^4+...+2^{2022}$

$\Rightarrow A=2A-A=2^{2022}+2-2^2-1$ $=2^{2022}-3$

Ta có tính chất quan trọng sau: Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ số thể dư 1. (*)

Thật vậy, với mọi k tự nhiên thì $\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1$. Khi đó do $4k\left(k+1\right)⋮8$ nên hiển nhiên (*) đúng.

Thế nhưng, ta thấy $2^{2022}-3$ chia 8 dư 5 nên mâu thuẫn. Vậy A không thể là số chính phương.Câu trả lời:  Ta thấy $2A=2+2^3+2^4+...+2^{2022}$

$\Rightarrow A=2A-A=2^{2022}+2-2^2-1$ $=2^{2022}-3$

Ta có tính chất quan trọng sau: Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ số thể dư 1. (*)

Thật vậy, với mọi k tự nhiên thì $\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1$. Khi đó do $4k\left(k+1\right)⋮8$ nên hiển nhiên (*) đúng.

Thế nhưng, ta thấy $2^{2022}-3$ chia 8 dư 5 nên mâu thuẫn. Vậy A không thể là số chính phương.