Question

\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Chứng minh BĐT trên

Answer 1

bất của bạn thiếu điều kiện a,b,c>0 

lần đầu lóng ngóng mấy sư huynh chỉ giáo :D 

việc tách ghép hoàn toàn dựa vào điểm rơi và tách ghép 1 cách hợp ní 

\(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\) \(=\dfrac{\Sigma_{cyc}3a}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

hoán vị theo a,b,c 

Ta được: \(1+2\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

Từ đây dễ chứng minh được bằng cách mũ 3 hai vế và ta được điều phải chứng minh:

\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c