7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 2y2 = 5
8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn
x2 + 3y = 3026
9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z
10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 – x – y = 8
11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 4xy + 5y2 = 169
12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình
x2 – 5y2 = 0
13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 + z2 = x2 y2
14: Giải phương trình nghiệm nguyên
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- 
)2 = 3 – 
Ta thấy (x- )2 = 3 – ≥ 0
⇒ -2 ≤ y ≤ 2
⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x
Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)
7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 2y2 = 5
Hướng dẫn:
và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4
y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3
⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại)
Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm.
8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn
x2 + 3y = 3026
Hướng dẫn:
Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025
mà xº ∈ N ⇒ x = 55
Xét y > 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
⇒ x2 + 3y chia cho 3 dư 0 hoặc 1
mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại)
Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)
9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z
Hướng dẫn:
Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3
Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2
Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)
Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z
Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ (2.4k+1) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn (loại)
Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn
10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 – x – y = 8
Hướng dẫn:
Ta có x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32
⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52
Do đó ta có 
hoặc 
Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.
11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 4xy + 5y2 = 169
Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169
Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122
Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)
12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình
x2 – 5y2 = 0
Hướng dẫn:
Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0
13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 + z2 = x2 y2
Hướng dẫn:
Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1
Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1
Ta có x+ y+z = xy
lập luận tương tự ta có x + y + z = 16 xy
Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì
là nghiệm của phương trình với k nguyên dương
⇒ x1 = y1 = z1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm là (0, 0, 0)
14: Giải phương trình nghiệm nguyên
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Ta có PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
⇒ y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có
⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
(x, y) = (2; -5); (-2, 3)
15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2
Ta có: 
⇒ 
⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23
⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)
⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2
thay vào phương trình ta tìm được các cặp số
(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình
đừng tỏ ra mình là thằng ngu
