Question

1Tìm cố nguyên x sao cho \((x^2-1)(x^2-4)(x^2-7)(x^2-10)< 0\)

2Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=|x-a|+|x-b|+|x-c|+x-d|\) với a<b<c<d

 

Answer 1

1) Để \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-10\right)< 0\) thì phải có 1 số nhỏ hơn 0 hoặc 3 số nhỏ hơn 0

TH1 : có 1 số nhỏ hơn 0

Vì \(x^2-1>x^2-4>x^2-7>x^2-10\)

Nên \(\hept{\begin{cases}x^2-1;x^2-4;x^2-7>0\\x^2-10< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-7>0\\x^2-10< 0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2>7\\x^2< 10\end{cases}\Leftrightarrow7< x^2< 10\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3}\)

TH2: 3 số nhỏ hơn 0

Vì \(x^2-1>x^2-4>x^2-7>x^2-10\)

Nên \(\hept{\begin{cases}x^2-1>0\\x^2-4;x^2-7;x^2-10< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1>0\\x^2-4< 0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2>1\\x^2< 4\end{cases}\Rightarrow1< x^2< 4}\) (loại vì x là số nguyên)

Vậy \(x=\pm3\)

Answer 2

2) \(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\)

\(=\left|x-a\right|+\left|x-d\right|+\left|x-c\right|+\left|x-b\right|\)

\(=\left|x-a\right|+\left|d-x\right|+\left|x-c\right|+\left|b-x\right|\)

\(\ge\left|x-a+d-x\right|+\left|x-c+b-x\right|=\left|d-a\right|+\left|b-c\right|=c+d-a-b\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-a\right)\left(d-x\right)\ge0\\\left(x-c\right)\left(b-x\right)\ge0\end{cases}\Rightarrow b\le x\le c}\)

Vậy GTNN của A là \(c+d-a-b\) tại \(b\le x\le c\)