Hạ đường cao AH của △ABC
⇒AH⊥BC
Vì △ABC nhọn
⇒Điểm H nằm giữa 2 điểm B và C
Diện tích △ABC là: SABC=\(\dfrac{1}{2}\).BC.AH(1)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc vào △AHB(H=900 ),ta có:
AH=AB.\(\sin B\)(2)
Từ (1) và (2)⇒SABC=BC.AB.\(\sin B\)(đpcm)
Bài 1:
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Ta có:
\(\sin A=\frac{BH}{AB}\)
Mà \(\frac{1}{2}BH.AC=S_{ABC}\Rightarrow BH=\frac{2S_{ABC}}{AC}\)
\(\Rightarrow \sin A=\frac{2S_{ABC}}{AB.AC}\)
\(\Rightarrow \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB.AC.BC}{2_{ABC}}\)
Hoàn toàn tương tự, kẻ đường cao từ đỉnh $B,C$ , cuối cùng ta có:
\(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AB.BC.AC}{2S_{ABC}}\)
Vậy ta có đpcm.
Bài 2:
Vì \(\cot a.\tan a=1\Rightarrow cot a=\frac{1}{\tan a}\). Thay vào pt đã cho ta có:
\(\tan a+\cot a=2\Leftrightarrow \tan a+\frac{1}{\tan a}=2\)
\(\Rightarrow \tan ^2a+1-2\tan a=0\)
\(\Leftrightarrow (\tan a-1)^2=0\Rightarrow \tan a=1\)
\(\Rightarrow a=\arctan (1)=\frac{\pi}{4}\) (radian) và bằng $45^0$
Vậy \(a=45^0\)