1:cho tam giác ABC có 3 góc nhon AB<AC .Các đường cao BE ,CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC.K là điểm đối xứng với M qua H. a) CM/ tứ giác BHCK là hình bình hành b)CM/BK \(\perp\) AB và CK \(\perp\) AC c) gọi l là điểm đối xứng với H qua BC .CM/ tứ giác BLKC d) BK cắt HL tại G. \(\Delta\) ABC phải có thêm điều kiện gì đẻ tứ giác GHCK là hình thang cân
a) Tứ giác BHCKcó 2 đường chéo HK và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
Do đó tứ giác BHCKlà hình bình hành
b) Tứ giác BHCKlà hình bình hành
⇒BK∥CH
Mà CH⊥AB
⇒BK⊥AB(đpcm)
c) Gọi J=BC∩HI⇒J là trung điểm của HIHI và BC⊥HI=J
ΔBHI có BJ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
⇒ΔBHI⇒ΔBHI cân đỉnh B
⇒BI=BH
Mà BH=CK(do BHCKlà hình bình hành)
⇒BI=CK (1)
ΔHIK có JJ là trung điểm IH, M là trung điểm HK
⇒JM⇒JM là đường trung bình ΔHIK
⇒IM∥IK⇒BC∥IK
⇒BIKClà hình thang có thêm (1): BI=CK
Do đó BICK là hình thang cân (đpcm)
d) Tứ giác GHCK có GK∥HC
Do đó GHCK là hình thang
Để GHCKlà hình thang cân thì HG=CK mà CK=HB(do BHCKlà hình bình hành)
Theo tính chất bắc cầu thì HG=HB⇒ΔHBGcân đỉnh HH
⇒ˆHBG=ˆHGB (2)
Ta có ΔABH:ˆHGB+ˆBAG=90o
ΔABJ:ˆABC+ˆBAG=90o
Suy ra ˆHGB=ˆABC (vì cùng phụ với ˆBAGBAG^)
Kết hợp với (2) suy ra ˆABC=ˆHBG
ˆABH+ˆHBC=ˆHBC+ˆCBG
ˆCBG=ˆABH(3)
Mà ΔABE:ˆBAC+ˆABH=90o (4)
ˆABC+ˆCBG=90o(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra ˆBAC=ˆABC (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau ˆCBG=ˆABH)
⇒ΔABC⇒ΔABC cân đỉnh C
ΔABC cân đỉnh CC thì GHCK là hình thang cân.
;
; 
. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
