Question

1.Cho các số thực dương a,b.Cmr :\(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=< \sqrt{\sqrt{ab}}\)

 

Answer 1

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{ab}}}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{ab}}}\)

=> \(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

<=> \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le2\cdot\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\)

<=> \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt{\sqrt{ab}}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

*Cô Chi check giúp em với ạ!*

Answer 2

Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}}\) ( cô - si cho hai số dương )

=> \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{ab}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b.