Dễ mà bạn!
Đặt \(L=\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\)
\(\Rightarrow2L=2.\frac{1}{3.5}+2.\frac{1}{5.7}+2.\frac{1}{7.9}+...+2.\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\)(nhân vậy là để ở mẫu các phân số có hiệu bằng tử = 2)
\(\Rightarrow2L=\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\frac{2}{7.9}+...+\frac{2}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\)
Có \(\frac{2}{3.5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\)
\(\frac{2}{5.7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\)
...
\(\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\)
Vậy \(2L=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\)
\(\Rightarrow2L=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}\)
\(\Rightarrow2L=\frac{2n+1}{3\left(2n+1\right)}-\frac{3}{3\left(2n+1\right)}\)(Quy đồng)
\(\Rightarrow2L=\frac{2n+1-3}{3\left(2n+1\right)}=\frac{2n-2}{3\left(2n+1\right)}\)
\(\Rightarrow L=\frac{2n-2}{3\left(2n+1\right).2}=\frac{2n-2}{6\left(2n+1\right)}=\frac{2\left(n-1\right)}{6\left(2n+1\right)}=\frac{n-1}{3\left(2n+1\right)}\)
Mình chỉ rút gọn đc tới đây thôi, mong bạn thông cảm :D
