Question

\(1^2+2^2+3^2+4^2+...+100^2=?\)

Answer 1

Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát 12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức: (k+1)3=k3+3k2+3k+1 với k lần lượt là 1, 2, 3,... n.
Ta có:
23=(1+1)3=13+3.12+3.1+1
33=(2+1)3=23+3.22+3.2+1
43=(3+1)3=33+3.32+3.3+1
....................
(n+1)3=(n+1)3=n3+3.n2+3.n+1

Cộng vế theo vế và rút gọn, ta có:
(n+1)3=13+3(12+22+32+...+n2)+3n(n+1)2+n

⇔3(12+22+32+...+n2)=(n+1)3−1−3n(n+1)2−n

⇔3(12+22+32+...+n2)=2(n+1)3−3n(n+1)−2n−22

⇔12+22+32+...+n2=2n3+6n2+6n+2−3n2−3n−2n−26

⇔12+22+32+...+n2=2n3+3n2+n6

⇔12+22++32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6
Tới đây thay n=100 vào công thức là OK.  

Answer 2

Đặt S = 1² + 2² + 3² + ....+ 99² + 100²

=> 2S = 1.2 + 2(3 - 1) + 3(4 - 2) + ......+ 99(100 - 98) + 100 (101 - 99)

=> 2S = 1.2 + 2.3 - 1.2 + 3.4 - 2.3 +.......+ 99.100 - 98.99 + 100.101

=> 2S = (1.2 + 2.3 + 3.4 +.....+ 99.100 + 100.101) - (1.2 + 2.3 + .....+ 98.99)

=> 2S = 99.100 + 100.101 = 100(101 + 99) = 100.200 = 20000

=> S = 20000: 2 = 10000