Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyễn đức mạnh

1/2+1/3+...+1/50

Chứng minh rằng tổng này không phải số tự nhiên

Lê Thị Bích Tuyền
24 tháng 7 2015 lúc 20:02

Xét \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\) = \(\frac{\left(2+4\right)}{\left(2.4\right)}\)\(\frac{2.3}{\left[\left(3-1\right)\left(3+1\right)\right]}\) = \(\frac{2.3}{\left(3^2-1\right)}\) > \(\frac{2.3}{3^2}\)\(\frac{2}{3}\) = 2\(.\left(\frac{1}{3}\right)\)
=> \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\) > 3.\(\left(\frac{1}{3}\right)\) = 1          (1)
Lại xét \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\)  + ... + \(\frac{1}{9}\) + ... + \(\frac{1}{13}\)
\(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}\) = \(\frac{\left(8+10\right)}{\left(8.10\right)}\) = \(\frac{2.9}{\left(9^2-1\right)}\)\(\frac{2.9}{9^2}\) = \(\frac{2}{9}\) = 2.\(\frac{1}{9}\)
Tương tự chứng minh được \(\frac{1}{7}+\frac{1}{11}\) > 2.(\(\frac{1}{9}\) )  ; \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\) > 2. \(\frac{1}{9}\); ...; \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}\) > 2.\(\frac{1}{9}\)
=> \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\)+ ... + \(\frac{1}{13}\) > 9.(\(\frac{1}{9}\)) = 1                               (2)
Tiếp tục xài chiêu đó, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1               (3)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\) a > 3 (*)

Mặt khác
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\) = 1                           (4)
\(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\) = \(\frac{1}{2}\)                        (5)
\(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\) < 3.\(\left(\frac{1}{7}\right)\)\(\frac{3}{7}\)                 (6)
\(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}\)+ ...+\(\frac{1}{14}\) < 5.\(\left(\frac{1}{10}\right)\)\(\frac{1}{2}\)      (7)
\(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\)+ ...+\(\frac{1}{19}\) < 5.\(\left(\frac{1}{15}\right)\)\(\frac{1}{3}\)         (8)
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}\)+ ...+\(\frac{1}{26}\) < 6\(\left(\frac{1}{21}\right)\)\(\frac{2}{7}\)          (9)
\(\frac{1}{27}+\frac{1}{28}\)+ ...+\(\frac{1}{50}\) < 24.\(\left(\frac{1}{27}\right)\)\(\frac{8}{9}\) (10)
Cộng (4),(5),(6),(7),(8),(9),(10) \(\Rightarrow\) a < 2 + \(\frac{5}{7}\)\(\frac{11}{9}\) < 2 + \(\frac{7}{9}\)\(\frac{11}{9}\) = 4 (**)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\) 3 < a < 4 \(\Rightarrow\) a ko phải là số tự nhiên.



 

_Never Give Up_ĐXRBBNBMC...
6 tháng 4 2018 lúc 20:43

Xét 1/2 + 1/3 + 1/4 
1/2 + 1/4 = (2+4)/(2.4) = 2.3/[(3-1)(3+1)] = 2.3/(3^2 - 1) > 2.3/3^2 = 2/3 = 2.(1/3) 
---> 1/2+1/3+1/4 > 3.(1/3) = 1 (1) 
Lại xét 1/5 + 1/6 + ... + 1/9 + ... + 1/13 
1/8+1/10 = (8+10)/(8.10) = 2.9/(9^2 - 1) > 2.9/9^2 = 2/9 = 2.(1/9) 
Tương tự cm được 1/7+1/11 > 2.(1/9) ; 1/6+1/12 > 2.1/9; ...; 1/5+1/13 > 2.1/9 
---> 1/5+1/6+ ... + 1/13 > 9.(1/9) = 1 (2) 
Tiếp tục xài chiêu đó, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1 (3) 
(1),(2),(3) ---> a > 3 (*) 

Mặt khác 
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 (4) 
1/4 + 1/5 + 1/20 = 1/2 (5) 
1/7 + 1/8 + 1/9 < 3.(1/7) = 3/7 (6) 
1/10+1/11+ ...+1/14 < 5.(1/10) = 1/2 (7) 
1/15+1/16+ ...+1/19 < 5.(1/15) = 1/3 (8) 
1/21+1/22+ ...+1/26 < 6.(1/21) = 2/7 (9) 
1/27+1/28+ ...+1/50 < 24.(1/27) = 8/9 (10) 
Cộng (4),(5),(6),(7), (8),(9),(10) ---> a < 2 + 5/7 + 11/9 < 2 + 7/9 + 11/9 = 4 (**) 

Từ (*) và (**) ---> 3 < a < 4 ---> a ko phải là số tự nhiên. 

==================================== 
Cách khác (tổng quát hơn, trừu tượng hơn) 
Quy đồng mẫu số : 
Chọn mẫu số chung là M = BCNN(2;3;4;...;50) = k.2^5 = 32k (k là số tự nhiên lẻ) 
Đặt T2 = M/2; T3 = M/3; ...; T50 = M/50 
---> a = (T2+T3+ ... + T50) / M 
Chú ý rằng T2,T3,...,T50 đều chẵn, chỉ riêng T32 = M/32 = k là lẻ, còn M chẵn 
---> T2+T3+...T50 lẻ.Số lẻ ko thể là bội của số chẵn ---> a ko phải là số tự nhiên

zZz Cool Kid_new zZz
30 tháng 1 2019 lúc 23:56

bạn trên làm hào phóng quá,có lẽ đúng.Sau đây là cách của tớ.

Đặt \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{50}\)

Đặt \(T=3\cdot5\cdot7\cdot....\cdot49\)

\(\Rightarrow B\cdot T=\frac{T}{2}+\frac{T}{3}+\frac{T}{4}+....+\frac{T}{50}\)

\(\Rightarrow2^4.B.T=\frac{2^4T}{2}+\frac{2^4T}{3}+\frac{2^4T}{4}+....+\frac{2^4T}{50}\left(1\right)\)

Dễ thấy tất cả số hạng của \(\left(1\right)\)đều là số tự nhiên ngoại trừ số \(\frac{2^4T}{2^5}\)

\(\Rightarrow VP\notinℕ\)

\(\Rightarrow VT\notinℕ\)

Mà \(2^4\inℕ;T\inℕ\)

\(\Rightarrow B\notinℕ\left(đpcm\right)\)

shitbo
31 tháng 1 2019 lúc 14:13

Cách này:

Gọi mẫu số chung là: 32 nhân với các thừa số lẻ khác

Gọi ẩn phụ: a1=1/2;.... a49=1/50

Ta thấy:a1+a2+..+a49. thì a31 chính là phân số: 1/32

khi quy đồng lên thì có tử là số lẻ 

còn mấy phân số a1;a2;..;a49 khi qui đồng lên có tử chẵn

=> tổng trên có tử lẻ và mẫu chẵn (có chứa thừa số 2)

nên: ko là số tự nhiên (đpcm)

zZz Cool Kid_new zZz
8 tháng 3 2019 lúc 10:59

Câu hỏi của nguyễn đức mạnh:BẠN tham khảo câu trả lời của mình tại đó!  


Các câu hỏi tương tự
phuc phuc
Xem chi tiết
Hồng Vân Phạm
Xem chi tiết
Linh Kẹo
Xem chi tiết
Nguyễn Trung Dũng
Xem chi tiết
Huy Nguyễn
Xem chi tiết
oOo Vũ Khánh Linh oOo
Xem chi tiết
Học 24h
Xem chi tiết
Doãn Văn An
Xem chi tiết
Đỗ Duy Tiến
Xem chi tiết