Question

1) Xác định a,b để đa thức: x³+4x²+ax+b chia hết cho đa thức x²+x-2

2) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M= (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

Answer 1

1. Ta có \(\frac{x^3+4x^2+ax+b}{x^2+x-2}=\frac{x\left(x^2+x-2\right)+3\left(x^2+x-2\right)+\left(a-1\right)x+b+6}{x^2+x-2}=x+3+\frac{\left(a-1\right)x+b+6}{x^2+x-2}\)

Để đa thức \(x^3+4x^2+ax+b\)chia hết cho đa thức \(x^2+x-2\)

thì \(\hept{\begin{cases}a-1=0\\b+6=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-6\end{cases}}}\)

Vậy a=1;b=-6 thì ....

2. Ta có \(M=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left[\left(x-1\right)\left(x+6\right)\right].\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]\)

\(=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\forall x\)

\(\Rightarrow M\ge-36\)

Vậy \(MinM=-36\Leftrightarrow x^2+5x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Answer 2

1) Có A = x³ + 4x² + ax + b

             = x³ + x² - 2x + 3x² + 3x - 6 - x + ax + b + 6

             = x(x² + x - 2) + 3(x² + x - 2) + (a - 1)x + (b + 6)

             = (x² + x - 2)(x + 3) + (a - 1)x + (b + 6)

Do (x² + x - 2)(x + 3) chia hết cho x² + x - 2 nên để A chia hết cho x² + x - 2

thì (a - 1)x + (b + 6) = 0 với mọi x

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b+6=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-6\end{cases}}}\)

2) Có M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

              = [(x - 1)(x + 6)] [(x + 2)(x + 3)]

              = (x² + 5x - 6)(x² + 5x + 6)

              = (x² + 5x)² - 36

Thấy (x² + 5x)² ≥ 0 với mọi x

=> (x² + 5x)² - 36 ≥ -36 với mọi x

=> M ≥ -36 với mọi x

Dấu "=" xảy ra khi x² + 5x = 0 

                    <=> x(x + 5) = 0

                    <=> x = 0 hoặc x + 5 = 0

                    <=> x = 0 hoặc x = -5

Vậy min M = -36, đạt đc khi x = 0 hoặc x = -5

P/s: ko chắc