1. Tồn tại hay không 5 số nguyên \(a;b;c;d;e\) thỏa mãn đẳng thức
\(a^2+b^2=\left(a+1\right)^2+c^2=\left(a+2\right)^2+d^2=\left(a+3\right)^2+e^2\)
2. Cho các số nguyên dương \(a;b;c;d\) thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a^2+1=bc\\c^2+1=ad\end{cases}}\)
Chứng minh \(b+c=3a\)
3. Cho tập hợp \(A=\left\{1;2;3;...;2017\right\}.\) Có bao nhiêu tập hợp con của A sao cho tổng bình phương các phần tử của tập hợp con đó là số lẻ?
tìm số nguyên dương a,b,c( b>c)thỏa mãn\(\hept{\begin{cases}b^2+c^2=a^2\\2\left(a+b+c\right)=bc\end{cases}}\)
Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả mãn: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\). Chứng minh rằng: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)
Cho a,b,c là 3 số thực khác không thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{cases}}\)
Hãy tính giá trị của biểu thức: \(Q=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
Đề mình tổng hợp cho các bạn thi hsg toán 9.
+) Yêu cầu:
Thứ nhất: Các bạn trả lời phải ghi rõ bài của mình làm là bài mấy ý mấy?
Ví dụ: Bài 1: Giải:....
Thứ hai: Bài được chọn là bài làm đúng nhất và nhanh nhất. Nếu cách khác chậm hơn vẫn được chọn.
+) Giải thưởng: Quản lí cam kết tài trợ GP: Số lượng mỗi ý đúng là 1 GP . Tổng số GP tài trợ là > 12
Đề bài:
Câu 1:
a) Cho \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\). Tính giá trị của biểu thức: \(A=x^5-4x^4+x^3-x^2-2x+2019\)
b) Cho \(x=\sqrt[3]{2+2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}-1\). Tính giá trị biểu thức \(P=x^3\left(x^2+3x+9\right)^3\)
Câu 2:
a) Giải phương trình \(\frac{\left(x-4\right)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+\left(2x-4\right)\sqrt{x-2}}{x-1}\)
b) Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{y-3}\\x^2+y^2=10\end{cases}}\)
Câu 3:
a) Cho hai đa thức \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+...+\frac{1}{x-2018}\)và \(g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+...+\frac{1}{x-2017}\)
Chứng minh rằng :\(\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|>2\)với x là các số nguyên thỏa mãn 0 < x < 2018
b) Cho m, n là hai số nguyên dương lẻ sao cho \(n^2-1\)chia hết cho \(\left|m^2-n^2+1\right|\). Chứng minh rằng \(\left|m^2-n^2+1\right|\)là số chính phương
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(x\left(x+3\right)+y\left(y+3\right)=z\left(z+3\right)\)với điều kiện x, y là các số nguyên tố
d) Chứng minh rằng phương trình \(x^{15}+y^{15}+z^{15}=19^{2003}+7^{2003}+9^{2003}\)không có nghiệm nguyên
Câu 4:
a) Cho điểm A cố định thuộc trên đường tròn (O; R). BC là dây cung của đường tròn (O; R), BC di động và tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau ở G. Gọi S là giao điểm của GD và EF. Chứng minh rằng đường thẳng SH luôn đi qua một điểm cố định.
b) Cho tam giác ABC vuông tại C, D là chân đường cao vẽ từ C. Cho X là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng CD (X khác C và D). Cho K là điểm trên đoạn thẳng AX sao cho BK = BC. Tương tự L là điểm trên đoạn thẳng BX sao cho AL = AC. Cho M là giao điểm của AL và BK. Chứng minh rằng MK = ML
Câu 5:
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:\(8\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+9\ge10\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b) Cho tập hợp X = {0;1;2;...;14}. Gọi A là một tập hợp gồm 6 phần tử được lấy ra từ X. Chứng minh rằng trong các tập hợp con thực sự của A luôn tìm được hai tập có tổng các phần tử bằng nhau . (Tập hợp con thực sự của tập Y là tập con của Y khác tập rỗng và khác Y)
P/s: Đề bài tổng hợp có gì sai sót mong các bạn góp ý và bổ sung không cãi nhau; spam gây mất trật tự.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge1\\a^2+b^2+c^2=4\end{cases}}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{9}{2\left(\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}+\sqrt{c^2-1}\right)}\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a,b,c\in\left[0;2\right]\\a+b+c=3\end{cases}}\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le5\)
cho a,b,c>0 thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\a^2+b^2+c^2=2\end{cases}}\)
Tính \(A=a\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}\)
a) Giải phương trình \(\left(3x+2\right)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x+6\)
b) Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=41\\\sqrt{x+y}-2\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\)
c) Tìm a,b để biểu thức \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(-1\)và giá trị lớn nhất bằng \(4\)
d) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(abc=1\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^5\left(b+2c\right)^2}+\frac{1}{b^5\left(c+2a\right)^2}+\frac{1}{c^5\left(a+2b\right)^2}\ge\frac{1}{3}\)
Thử sức đề mình soạn cho các bạn có mục tiêu thi HSG toán 9 ( học kỳ I ) thôi nhé :D
Câu 1:
a) Tính giá trị biểu thức \(E=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}}\)
b) Cho x,y thỏa mãn \(x\ne\pm y\) Đặt \(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=a\)
Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}\)
Câu 2:
a) Giải phương trình: \(\frac{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}{x+5+\sqrt{2\left(x^2+1\right)}}=\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\frac{3-3\sqrt{x}}{2}\)
b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0\\35x^2+28y^2+41x-122y+56=0\end{cases}}\)
Câu 3:
a) Cho \(x_0;x_1;x_2;.......\) được xác định bởi: \(x_n=\left[\frac{n+1}{\sqrt{2}}\right]-\left[\frac{n}{\sqrt{2}}\right]\).
Hỏi trong 2006 số đầu tiên của dãy có mấy số khác 0
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: \(m^n=n^{m-n}\)
c) Cho phương trình \(x^2-4x+1=0\). Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của phương trình. Đặt \(a_n=\frac{x_1^n+x_2^n}{2\sqrt{3}}\) với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(a_n\) là một số nguyên với mọi n
d) Cho bộ số nguyên dương thỏa mãn \(a^2+b^2=c^2\). Chứng minh rằng không thể tồn tại số nguyên dương n sao cho:
\(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)^2=n\)
Câu 4:
a) Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{a^2+bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{b^2+ca}+\frac{c\left(a+b\right)}{c^2+ab}\ge1+\frac{16abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
b) Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\sqrt{\frac{b^2-bc+c^2}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{c^2-ca+a^2}{b^2+ca}}+\sqrt{\frac{a^2-ab+b^2}{c^2+ab}}+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Câu 5:
1)
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt BC tại P. Qua D kẻ đường thẳng song song EF cắt AB, AC lần lượt tại Q, R.
a) Chứng minh rằng \(\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}\)
b) Gọi X là trung điểm AH. EF cắt AH tại Y. Chứng minh rằng Y là trực tâm tam giác XBC.
2)
Cho E và F lần lượt là các trung điểm của cạnh AD và CD của hình bình hành ABCD sao cho \(\widehat{AEB}=\widehat{AFB}=90^0\), và G là điểm nằm trên BF sao cho EG // AB. Gọi DH, AF lần lượt cắt cạnh BC, BE tại I, H. Chứng minh rằng \(FI\perp FH\)
Câu 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của a là cạnh hình vuông sao cho có thể đặt 5 tấm bìa hình tròn bán kính 1 trong hình vuông đó mà các tấm bìa không chờm lên nhau.
GOODLUCK.
WARNING: COMMENT LUNG TUNG SẼ BỊ CÔ QUẢN LÝ CHO "PAY ẶC" nhé !
Thời gian làm bài ( 180 phút ).
