Question

1, Tìm x, y nguyên tố thoả mãn

                         y² – 2x² = 1

2, 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

                             (2x + 5y + 1)(2^|x|   + y + x²  + x) = 105

3, 

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                   x⁴ + 4x³+ 6x²+ 4x = y²

^4, 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

                   5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

5, 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y²

^6, 

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

y² + y = x⁴ + x³ + x² + x

Answer 1

 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn

                         y² – 2x² = 1

Hướng dẫn:

Ta có y² – 2x² = 1 ⇒ y²   = 2x² +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)² = 2x² + 1

⇔ x² = 2 k² + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Answer 2

2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

                             (2x + 5y + 1)(2^|x|   + y + x²  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2^|x|  + y + x²  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2^|x| + y + x²  + x = 2^|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2^|x|  lẻ ⇒ 2^|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào  phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y² + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y =  ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

Answer 3

3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                   x⁴ + 4x³+ 6x²+ 4x = y²

Hướng dẫn: Ta có: x⁴ + 4x³+ 6x²+ 4x = y²  ⇔ x⁴ +4x³+6x²+4x +1- y²=1

⇔ (x+1)⁴ – y² = 1 ⇔ [(x+1)² –y] [(x+1)²+y]= 1

⇔  hoặc 

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)² = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

Answer 4

 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

                   5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

          Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Do x ≥ y ≥ z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11

⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)

= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1)   và các hoán vị

Answer 5

 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y²

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì  x!  có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

Þ 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại)

Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4}

Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn

Answer 6

 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

y² + y = x⁴ + x³ + x² + x

          Hướng dẫn:

Ta có :  y² + y = x⁴ + x³ + x² + x ⇔ 4 y²+4y+1=4 x⁴ + 4 x³ + 4x² + 4x+1

⇒ (2x² + x ) ² – (2y + 1)² = (3x + 1) (x +1)

hay  (2x² + x + 1) ² – (2y+ 1)² = x(x-2)

Ta thấy:

Nếu x> 0 hoặc x< – 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0

Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0

⇒ Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x² + x) <(2y+1)² < (2x² + x + 1) ²          (loại)

⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2

Xét x = 2 ⇒ y² + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6

Xét x= 1 ⇒ y² + y = 4 (loại)

Xét x = 0 ⇒ y² + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1

Xét x = -1 ⇒ y² + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1

Vậy nghệm nguyên của phương trình là:

(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)

Answer 7

2.

Ta có (2x+5y+1)(2^|x|+y+x^2+x)=105 mà 105 lẻ =>2x+5y+1 lẻ và 2^|x|+y+x^2+x lẻ.

2x+5y+1 lẻ => 2x +5y chẵn => y chẵn.

2^|x|+y+x^2+x = 2^|x|+y + x(x+1). Mà x(x+1) chẵn ( là hai số liên tiếp nên chia hết cho 2).

Lại có y chẵn nên 2^|x| lẻ => 2^|x|=1 => x=0.

Thay x= 0 vào phương trình đã cho ta được 5y²+6y-140=0.Giải pt trên ta được y=4(n) hoặc y=\(\frac{-26}{5}\) (loại).

Vậy x=0, y=4.