1) Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: A=2^2001+2^2002+2^2003+2^2004+2^2005+2^2006
2) Tìm GTNN của biểu thức sau: (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002
3) Cho a,b là các số dương. CMR: (a+b)^2+(a+b)/2>= 2a cănb+ 2b căna
4) cho a,b,c là đọ dài của ba cạnh tam giác.CMR
ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
Giải giúp mình vs m.n ơi
Bài 1 : \(A=2^{2001}+2^{2002}+2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}+2^{2006}\)
\(=2^{2001}\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)
Ta có :
\(2^1\equiv2mod\left(10\right)\)
\(2^{10}\equiv4mod\left(10\right)\)
\(2^{100}\equiv4^{10}\equiv6mod\left(10\right)\)
\(2^{1000}\equiv6^{10}\equiv6mod\left(10\right)\)
\(2^{2000}\equiv6^2\equiv6mod\left(10\right)\)
\(\Rightarrow2^{2001}\equiv6.2\equiv2mod\left(10\right)\)
Mà : \(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\equiv3mod\left(10\right)\)
Vậy chữ số tận cùng của A là \(2\times3=6\)
Bài 2 : Đặt \(A=\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-8\right)+2002\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)+2002\)
\(=\left(x^2-9x+8\right)\left(x^2-9x+20\right)+2002\)
\(=\left(x^2-9x+14-6\right)\left(x^2-9x+14+6\right)+2002\)
\(=\left(x^2-9x+14\right)^2+1966\)
Vì \(\left(x^2-9x+14\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-9x+14\right)^2+1966\ge1966\)
Vậy GTNN của A là 1966 .
Dấu bằng xảy ra khi \(x^2-9x+14=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=7\end{matrix}\right.\)
Bài 3 : Ta có :
\(VT=\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)}{2}\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{4}+b+\dfrac{1}{4}\right)\ge2\sqrt{ab}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)
Bài 4 : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Theo BĐT trong tam giác ta luôn có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\\ba+ca>a^2\\cb+ab>b^2\end{matrix}\right.\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
Vậy \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) ( đpcm )
