1. Chứng minh các BĐT sau
a) \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
b) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
c) \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
d) \(a^4+b^4\ge2,\) biết rằng \(a+b=2.\)
@Hung nguyen , @Nguyễn Huy Tú , @Đinh Đức Hùng , @Lightning Farron , @ Mashiro Shiina , @Võ Đông Anh Tuấn , @soyeon_Tiểubàng giải, @Nguyễn Thanh Hằng
Cảm ơn các bác nhiều ạ
a) Áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )
⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2
b) Áp dụng BĐT Cô - si :
x + y ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\) ( x > 0 ; y > 0 )
⇒ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ 2.\(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\) ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 2.\(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\).\(2\sqrt{ab}\)
⇔( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 4
⇔ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)
c) Áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )
⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0 )
⇔ 2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2
⇔ 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
c)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
d) áp dụng BĐT ở câu c ta có:
\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{2^2}{2}\right)^2}{2}=2\)
\("="\Leftrightarrow a=b=1\)
Câu c :
Xài bu-nhi đi .
\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(a.1+b.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
