Question

CM các bđt sau :

a)\(\dfrac{a+b+c}{3}\cdot\dfrac{x+y+z}{3}\le\dfrac{ax+by+cx}{3}\)

b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)

c)\(\dfrac{a1^2+a2^2+a3^2+....+an^2}{n}\ge\left(\dfrac{a1+a2+a3+....+an}{n}\right)^2\)

Giúp mk nhanh nhé các bạn! Tối mk phải nộp bài rồi!

Answer 1

a)\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)}{9}\le\dfrac{ax+by+cz}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\le3\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz\le3\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow2ax+2by+2cz-ay-az-bx-bz-cy-cx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ax-ay-bx+by\right)+\left(by-bz-cy+cz\right)+\left(cz-cx-az+ax\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(b-c\right)\left(y-z\right)+\left(c-a\right)\left(z-x\right)\ge0\)

Đây là BĐT Chebyshev mình nghĩ phải có thêm điều kiện \(x\ge y\ge z\)

b)Nhân VP áp dụng Cauchy-Schwarz

c)Xem câu hỏi