Question

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
Giúp mik với ạ

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{2(a+b+c)}\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)}\) \((1)\)

Theo hệ quả của BĐT Am-Gm: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)