1) Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có tổng bằng 1. CMR:
\(x^2+y^2+z^2\le11\)
3) Cho x,y,z là các số \(\ge1\). CMR:
a) \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b) \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c) \(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
3/ b/
TH 1: Trong 3 số \(\left(a+b-c\right);\left(b+c-a\right);\left(c+a-b\right)\)có 1 số âm hoặc 3 số đều âm thì BĐT đúng. (Thật ra không xảy ra được trường hợp cả 3 số đều âm đâu cứ ghi cho vui thôi).
TH 2: Trong 3 số \(\left(a+b-c\right);\left(b+c-a\right);\left(c+a-b\right)\)có 2 số âm
Giả sử 2 số âm đó là \(\left(a+b-c\right);\left(b+c-a\right)\)
\(\Rightarrow a+b-c+b+c-a=2b< 0\)trái đề bài. Nên không thể cùng lúc 2 số đều âm.
TH 3: Cả 3 số \(\left(a+b-c\right);\left(b+c-a\right);\left(c+a-b\right)\)đều dương
Ta có:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\dfrac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le a\left(2\right)\\\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le c\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le abc\)
Vậy ta có ĐPCM
3/ c/ Sửa đề thành a,b,c là 3 cạnh của tam giác nhé.
Ta cần chứng minh
\(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[ab^2+ac^2-a^3\right]+\left[ba^2+bc^2-b^3\right]+\left[ca^2+cb^2-c^3\right]>2abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{2abc}>0\) (đúng)
2 câu còn lại thì câu 1 sai rõ quá rồi bỏ qua. Còn câu 3a thì để t xem thử có sửa được đề không t làm nốt sau nhé. Giờ bận rồi.
3/a/ sửa đề là a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Ta cần chứng minh
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac-a^2\right)+\left(ba+bc-b^2\right)+\left(ca+cb-c^2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\)a(b + c - a) + b(c + a - b) + c(a + b - c) > 0 (đúng)
Vậy ta có ĐPCM
Đề bài cả hai sai lầm nghiêm trọng rồi. Bạn xem lại đi.
