1/ Cho p là số nguyên tố > 3. CMR: p2+1 chia hết cho 3.
2/ Cho A= p2+14. Tìm p để A là số nguyên tố.
3/ Cho p là số nguyên tố > 3 và 2p+1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p+1 là số nguyên tố hay hợp số?
4/ Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2 và không chia hết cho 3. CMR: n2-1 và n2+1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
1)
Đề bài sai. \(p^2+1\) luôn không chia hết cho $3$
Lời giải:
Vì \(p\in\mathbb{P}>3\Rightarrow p\) không chia hết cho $3$
Do đó $p$ có thể có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\)
\(\bullet\) Nếu \(p=3k+1\Rightarrow p^2+1=(3k+1)^2+1=9k^2+6k+2\not\vdots3\)
\(\bullet\) Nếu \(p=3k+2\Rightarrow p^2+1=(3k+2)^2+1=9k^2+12k+5\)
\(=(9k^2+12k+3)+2\not\vdots 3\)
Từ hai TH trên suy ra \(p^2+1\) không chia hết cho $3$ . Cụ thể, nó luôn chia cho $3$ dư $2$
2)
Theo bài 1, nếu \(p\in\mathbb{P}>3\) thì \(p^2+1\) chia cho $3$ dư $2$
\(\Rightarrow p^2+1=3t+2\) (\(t\in\mathbb{N}\))
\(\Rightarrow p^2+14=3t+15\vdots 3\). Mà \(p^2+14>3\Rightarrow p^2+14\) không thể là số nguyên tố
Do đó \(p\vdots 3\Leftrightarrow p=3\) . Thay vào \(p^2+14=23\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)
Vậy \(p=3\)
3)
Vì \(p\in\mathbb{P}>3\Rightarrow p\) không chia hết cho $3$
Do đó , $p$ có dạng \(3k+1,3k+2\) với \(k\in\mathbb{N}^*\)
Nếu \(p=3k+1\Rightarrow 2p+1=2(3k+1)+1=6k+3\vdots 3\). Mà \(2p+1>3\Rightarrow 2p+1\) không thể là số nguyên tố (trái với đkđb)
Do đó \(p=3k+2\).
Khi đó \(4p+1=4(3k+2)+1=12k+9\vdots 3,4p+1>3\) nên \(4p+1\) là hợp số.
4)
Ta thấy \(n^2-1=(n-1)(n+1)\)
Vì \(n\in\mathbb{N}>2\) nên \(n-1,n+1>1\), do đó \(n^2-1\) luôn là hợp số với mọi số tự nhiên $n$ lớn hơn $2$
Do đó, \(n^2-1\) và \(n^2+1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.
