DKXD \(x\ge1;y\ge2;z\ge3\)

\(Pt\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}+2\sqrt{y-2}+2\sqrt{z-3}=x+y+z-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-2\sqrt{y-2}+1\right)+\left(z-3-2\sqrt{z-3}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=1\\\sqrt{z-3}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)

Đk: a,b>0\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\ge\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\right]\)

=\(\dfrac{\left(a+b\right)^3}{4}\)(BĐT cauchy)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Leftrightarrow a+b\le2\)

dấu = xảy ra khi a=b=1

mà a,b >0 nên a+b >0

Kl:\(0< a+b\le2\)

\(C=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}.\dfrac{4}{x+y}\)(BĐT cauchy)

\(=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{z\left(3-z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(z+3-z\right)^2}{4}}=\dfrac{16}{9}\)(BĐT cauchy)

dấu = xảy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\z=3-z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=0,75\\z=1,5\end{matrix}\right.\)

Kl: 1/k=0,5625

p=UCLN(2n-3;3n+15)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n-3⋮p\\3n+15⋮p\end{matrix}\right.\Rightarrow2\left(3n+15\right)-3\left(2n-3\right)⋮p\)

\(\Rightarrow6n+30-6n+9⋮p\Leftrightarrow39⋮p\)

mà p nguyên tố => p= 3 hoặc p=13

chứng minh:\(P=\dfrac{-a+b+c}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}-3\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)-\dfrac{3}{2}\)Áp dụng BĐT cauchy:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

tương tự với các phân thức còn lại ta có đpcm.

dấu = xảy ra khi a=b=c

a) gợi ý: đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của cung căng dây ấy

b) Nối CN.ta có ABCN là tứ giác nội tiếp =>\(\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180^o\)

ta sẽ chứng minh \(\widehat{ANC}=\widehat{DEC}\)

hay \(\widehat{ANM}+\widehat{MNC}=\widehat{MNC}+\widehat{ACN}\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACN}\)

hiển nhiên đúng vì AMCN là tứ giác nội tiếp

Việc còn lại là trình bày và viết ngược lại vì đây là gợi ý =))

a) gợi ý : cm \(\Delta AID=\Delta CLD\left(g.c.g\right)\)

có:AD=DC và \(\widehat{ADI}=\widehat{CDL}\left(=\widehat{DKL}\right)\)

b) \(\dfrac{1}{DI^2}+\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{DL^2}+\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{CD^2}\)không đổi (hệ thức lượng)

\(x^3+4x-5=x^2y+3y\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{x^3+4x-5}{x^2+3}=\dfrac{x\left(x^2+3\right)+x-5}{x^2+3}=x+\dfrac{x-5}{x^2+3}\)

mà \(x,y\in Z\)=> \(\dfrac{x-5}{x^2+3}\in Z\)

Giờ chỉ cần tìm x để biểu thức trên nguyên ...

\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{2}\left(xy+yz+xz\right)>xy+yz+xz\)(x,y,z>0)