\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà (2,3) = 1 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.

Từ đó có đpcm

Đặt \(A=\frac{x^2+2}{x^2+x+2}\)

Ta có \(A\left(x^2+x+2\right)=x^2+2\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+Ax+\left(2A-2\right)=0\)

Nếu A = 1 thì x = 0

Nếu \(A\ne1\) , Xét \(\Delta=A^2-4\left(A-1\right).\left(2A-2\right)=A^2-8\left(A-1\right)^2=-7A^2+16A-8\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow-7A^2+16A-8\ge0\Rightarrow\frac{8-2\sqrt{2}}{7}\le A\le\frac{8+2\sqrt{2}}{7}\)

Từ đó tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất .

Giả sử A chia hết cho B , khi đó : 

\(A=\left(x-1\right)\left(x^3+bx^2+cx+d\right)\)

Khai triển : \(\left(x-1\right)\left(x^3+bx^2+cx+d\right)=x^4+bx^3+cx^2+dx-x^3-bx^2-cx-d\)

\(=x^4+x^3\left(b-1\right)+x^2\left(c-b\right)+x\left(d-c\right)-d\)

Dùng pp hệ số bất định : \(\begin{cases}b-1=-1\\c-b=2\\d-c=1\\-a=-d\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}b=0\\c=2\\a=d=3\end{cases}\)

Vậy a = 3

Bạn xem lại tia đối của tia AB hay tia BA?

a/ Ta có : \(4x^3+11x^2+5x+5=\left(4x^3+8x^2\right)+\left(3x^2+6x\right)-\left(5x+10\right)+15\)

\(=4x^2\left(x+2\right)+3x\left(x+2\right)-5\left(x+2\right)+15\)

\(=\left(x+2\right)\left(4x^2+3x-5\right)+15\)

Để \(4x^3+11x^2+5x+5\) chia hết (x+2) thì (x+2) thuộc Ư(15)

Bạn tự liệt kê.

b/ \(x^3-4x^2+5x-1=\left(x^3-3x^2\right)-\left(x^2-3x\right)+\left(2x-6\right)+5\)

\(=x^2\left(x-3\right)-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)+5\)

\(=\left(x-3\right)\left(x^2-x+2\right)+5\)

Để \(x^3-4x^2+5x-1\) chia hết (x-3) thì (x-3) thuộc Ư(5)

Bạn tự liệt kê

Gọi hai số cần tìm lần lượt là a,b (a>b)

Khi đó ta có : \(\begin{cases}a+b=1980\\a-b=3b\end{cases}\)

\(\Rightarrow a=4b\) thay vào a+b = 1980 được : 5b = 1980 => b = 396

Suy ra a = 1584

Vậy (a;b) = (1584;396)

Đề sai , thử a = 5 thì 2+2017a^3 không chia hết cho 3

\(\overline{78a9b}⋮5\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}b=0\\b=5\end{array}\right.\)

Nếu b = 0 thì 7+8+a+9 = 24+a . Do đó để số trên chia 9 dư 2 thì a = 5

Nếu b = 5 thì 7+8+a+9+5 = 29+a . Để số trên chia 9 dư 2 thì a = 0 hoặc a = 9

Vậy (a;b) = (5;0) ; (0;5) ; (9;5)

a/\(sin^4\alpha+cos^4\alpha+2sin^2\alpha.cos^2\alpha=\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)^2=1\)

b/ \(tan^2\alpha-sin^2\alpha.tan^2\alpha=tan^2\alpha\left(1-sin^2\alpha\right)=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}.cos^2\alpha=sin^2\alpha\)

c/ \(cos^2\alpha+tan^2\alpha.cos^2\alpha=cos^2\alpha\left(1+tan^2\alpha\right)\)

\(=cos^2\alpha.\left(1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\right)=cos^2\alpha.\left(\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha}\right)\)

\(=cos^2.\frac{1}{cos^2\alpha}=1\)