a/ \(\left(1-cos\alpha\right)\left(1+cos\alpha\right)=1-cos^2\alpha=\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)-cos^2\alpha=sin^2\alpha\)

b/ \(1+sin^2\alpha+cos^2\alpha=1+1=2\)

c/ \(sin\alpha-sin\alpha.cos^2\alpha=sin\alpha\left(1-cos^2\alpha\right)=sin\alpha.sin^2\alpha=sin^3\alpha\)

Ta có : \(\frac{a}{abc+ab+a+1}+\frac{b}{bcd+bc+b+1}+\frac{c}{acd+cd+c+1}+\frac{d}{abd+ad+d+1}\)

\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{abd}{abcd^2+abcd+abd+ad}+\frac{abcd}{a^2bcd^2+abcd^2+abcd+abd}+\frac{d}{abd+ad+d+1}\)

\(=\frac{ad}{abd+ad+d+1}+\frac{abd}{abd+ad+d+1}+\frac{1}{abd+ad+d+1}+\frac{d}{abd+ad+d+1}\)

\(=\frac{abd+ad+d+1}{abd+ad+d+1}=1\)

Ta có tam giác ABC cân tại A có góc A = 100 độ

=> Góc B = góc C = (180 độ - 100 độ) : 2 = 40 độ

Mà : AM = AN => Tam giác AMN cân tại A mà góc A = 100 độ

=> Góc AMN = góc ANM = (180 độ - 100 độ) : 2 = 40 độ

Từ đó dễ dàng suy ra góc AMN = góc ABC mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> MN // BC

Ta có : AK = AH ; AB = AC ; góc BAC chung

=> Tam giác ABH = tam giác ACK (c.g.c)

=> góc ABH = góc ACK mà góc ABC = góc ACB

=> Góc HBC = góc KCB => góc OBC = góc OCB => Tam giác OBC cân tại O

a/ Ta góc góc ACD chắn nửa cung AD là đường kính của (O)

=> góc ACD = 90 độ => CD vuông góc AC

Mà BH vuông góc với AC => BH // CD

b/ Tương tự ta cũng chứng minh được CH // BD

Từ câu a) có BH // CD => BHCD là hình bình hành

c/ Áp dụng công thức tính diện tích tam giác : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC^2.\frac{sinA.sinC}{sinB}=\frac{1}{2}.5^2.\frac{sin60^o.sin45^o}{sin75^o}=\frac{75-25\sqrt{3}}{4}\) (cm²)

Từ M kẻ MH vuông góc với B'C' (H thuộc B'C')

Dễ dàng chứng minh được MH là đường trung bình của hình thang BCC'B'

=> \(MH=\frac{BB'+CC'}{2}\)

Dễ thấy tam giác OAA' = tam giác OHM (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AA' = MH

=> \(BB'+CC'=2AA'\)

Bạn xem lại đề bài.

Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}};\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}};\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}};...;\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>100.\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{10}=10\)

Từ B kẻ đường cao BH vuông góc với CD tại H. Đặt HC = x cm (x>0)

Ta có AB = DH = \(2\sqrt{3}\)

Áp dụng định lí Pytago : \(BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{6^2-x^2}\) (cm)

=> \(AD=BH=\sqrt{6^2-x^2}\) (cm)

Lại có \(AD=tan30^o\times CD\) hay \(\sqrt{36-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\left(2\sqrt{3}+x\right)\Leftrightarrow36-x^2=\frac{12+x^2+4\sqrt{3}}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x^2}{3}=\frac{96-4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=24-\sqrt{3}\) 

Vậy \(CD=2\sqrt{3}+x=2\sqrt{3}+24-\sqrt{3}=24+\sqrt{3}\) (cm)

Vì tam giác ABC là tam giác cân nên góc B = góc C = (180 độ - 48 độ):2 = 66 độ

Ta có : \(AB=AC=\frac{AH}{sinB}=\frac{13}{sin66^o}\) (cm)

\(BC=2HB=2.\frac{AH}{tanB}=\frac{26}{tan66^o}\) (cm)

Suy ra chu vi tam giác ABC : \(AB+BC+AC=\frac{26}{sin66^o}+\frac{26}{tan66^o}\) (cm) 

1/ Có lẽ chính xác phải là kim loại đồng nhé. Và khối lượng riêng của hai thanh là 222,5 g

Gọi m₁ là khối lượng của thanh có thể tích (V₁) 10 cm³ , m₂ là khối lượng của thanh có thể tích (V₂) 15 cm³ và 

Ta có : \(m_1=V_1.225,5=10\times222,5=2225\left(g\right)\)

\(m_2=V_2.222,5=13\times222,5=2892,5\left(g\right)\)

2/ Tổng các góc của tam giác ABC là : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{1+2+3}=\frac{180^o}{6}=30^o\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\widehat{A}=30^o\\\widehat{B}=60^o\\\widehat{C}=90^o\end{cases}\)