Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Thị Hương
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 5 2021 lúc 13:45

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow abc=1\)

\(P=\dfrac{a^2bc}{b+c}+\dfrac{ab^2c}{c+a}+\dfrac{abc^2}{a+b}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Thanh Mai Đinh
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
9 tháng 7 2022 lúc 14:10

Bài 1: 

a: \(A=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)

\(=\dfrac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\)

b: \(\sqrt{xy}>=0;x-\sqrt{xy}+y>0\)

Do đó: A>=0

Đoàn Hà Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
3 tháng 9 2022 lúc 13:01

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{1}{x+y}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)

Karry Angel
Xem chi tiết
Bùi Nhất Duy
8 tháng 8 2017 lúc 17:22

1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)

TFBoys
8 tháng 8 2017 lúc 19:40

2.

a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

b) Lần trước mk giải rồi nhá

3.

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)

\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
20 tháng 2 2021 lúc 18:15

cái chỗ math processing error kia là \(3\left(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\ge\dfrac{985}{108}\)

Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Takishima Hotaru
19 tháng 3 2017 lúc 22:08

PP : biến đổi tương đương

Bài làm

Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)

Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )

Vậy..........

Shu Kurenai
12 tháng 4 2017 lúc 15:24

Còn cách dùng BĐT AM-GM nữa:

Vì x2\(\ge\)0 và y2\(\ge\)0

=> Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

x2 + y2 \(\ge\)\(2\sqrt{x^2\cdot y^2}\)=\(2xy\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge2xy+2xy\)=\(4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Chia cả 2 vế của BĐT cho \(xy\left(x+y\right)\) ta có:

\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)(đpcm)

dam cong tian
19 tháng 4 2017 lúc 20:12

đpcm\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(do x,y>0)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\)

Do \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)nên \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\forall x,y>0\)

Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Lightning Farron
1 tháng 8 2017 lúc 22:16

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)

\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)

Xảy ra khi \(x=y\)

b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)

Đúng với AM-GM 4 số

Xảy ra khi \(x=y=z=t\)