Cho hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 1 \). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) \( y' = 3x^2 - 12x + 1 \)
b) \( y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 4 \end{cases} \)
c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \( (0; 4) \).
d) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \( x = 4 \)
a) \(y'=3x^2-12x\Rightarrow Sai\)
b) \(y'=3x^2-12x=0\Leftrightarrow3x\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\) \(\RightarrowĐúng\)
c) Lập bảng biến thiên ta thấy HS nghịch biến trên \(\left(0;4\right)\Rightarrow Sai\)
d) Theo BBT hàm số đạt cực tiểu tại \(x=4\)
\(y_{min}\left(4\right)=4^3-6.4^2+1=64-96+1=-31\)
\(\RightarrowĐúng\)
Bảng biến thiên hàm số \(y=x^3-6x^2+1\)
Lớp 12A có 40 học sinh. Trong một buổi kiểm tra định kì, số học sinh lớp được chia thành 2 phòng như sau
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Phòng 1} & \text{Phòng 2} \\
\hline
\text{Số học sinh nam} & 11 & 8 \\
\hline
\text{Số học sinh nữ} & 9 & 12 \\
\hline
\end{array}
\]
Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 12A. Xét biến cố
A : Học sinh được chọn ở phòng 2
B : Học sinh được chọn là học sinh nữ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Biến cố học sinh được chọn là học sinh nữ ở phòng là \(A \cap B\)
b) \(P(A \cap B) \ne \frac{3}{10}\)
c) \(P(B) \ne \frac{21}{40}\)
d) \(P(A | B) = \frac{4}{7}\)
a) Sửa lại đề là Biến cố học sinh được chọn là học sinh nữ ở phòng 2 là \(A\cap B\RightarrowĐúng\)
b) Theo đề bài ta có :
\(P\left(A\right)=\dfrac{20}{20+20}=\dfrac{1}{2}\)
\(P\left(B\right)=\dfrac{9+12}{20+20}=\dfrac{21}{40}\)
\(P\left(A\cap B\right)=\dfrac{12}{40}=\dfrac{3}{10}\)
\(\Rightarrow Sai\)
c) \(Sai\)
d) \(P\left(A|B\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{21}{40}}=\dfrac{4}{7}\)
\(\RightarrowĐúng\)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-1; 2; 3), B(3; -4; 1) và C(2; -5; 1).
a) Tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là (-1; 2; 0).
b) $\overrightarrow{AB} = (2; -3; -1)$.
c) Đường thẳng BC song song với mặt phẳng (Oxy).
d) Gọi M là điểm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng. Khi đó $CM = \sqrt{15}$.
a) Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left(Oxy\right):z=0\) là \(\left(-1;2;0\right)\RightarrowĐúng\)
b) \(\overrightarrow{AB}=\left(4;-6;-2\right)=\left(2;-3;-1\right)\) vì 2 véc tơ có hệ số \(k=2\) hay 2 véc tơ này cùng phương với nhau
\(\RightarrowĐúng\)
c) \(\overrightarrow{BC}=\left(-1;-1;0\right)=\left(1;1;0\right)\)
\(\overrightarrow{n\left(Oxy\right)}=\left(0;0;1\right)\)
\(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{n\left(Oxy\right)}=1.0+1.0+0.1=0\Rightarrow BC//\left(Oxy\right)\) (vì cùng vuông với véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n\left(Oxy\right)}\RightarrowĐúng\)
d) \(M\left(x;y;0\right)\in\left(Oxy\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;-1\right)\)
\(\overrightarrow{AM}=\left(x+1;y-2;-3\right)\)
Để \(A;B;M\) thẳng hàng, \(\overrightarrow{AB}\&\overrightarrow{AM}\) cùng phương
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\left(x+1;y-2;-3\right)=k\left(2;-3;-1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{3}{2}\\x=5\\y=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(5;-7;0\right)\)
\(CM=\sqrt{\left(5-2\right)^2+\left(-7+5\right)^2+\left(0-1\right)^2}=\sqrt{14}\Rightarrow Sai\)
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \( v(t) = -5t + 10 \) (m/s), trong đó \( t \) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Gọi \( s(t) \) là quãng đường xe ô tô đi được trong \( t \) (giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quãng đường \( s(t) \) mà xe ô tô đi được trong thời gian \( t \) (giây) là đạo hàm của hàm số \( v(t) \)
b) \( s(t) = -5t^2 + 10t \).
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
d) Quãng đường xe ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh cho đến khi ô tô dừng hẳn là 10m.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; -1) và mặt phẳng (P): \(x + 2y + z = 0\). Mặt phẳng (Q) qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
A. \(x + 2y + z - 1 = 0\). \hspace{1cm} B. \(x + 2y + z + 4 = 0\). \hspace{1cm} C. \(x + 2y + z - 6 = 0\). \hspace{1cm} D. \(x + 2y + z - 4 = 0\).
\(\left(P\right):x+2y+z=0\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;1\right)\)
\(\left(P\right)//\left(Q\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_Q}=\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;1\right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left(Q\right)\) qua \(A\left(1;2;-1\right)\)
\(\left(Q\right):\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)+\left(z+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(Q\right):x+2y+z-4=0\)
\(\Rightarrow Chọn.D\)
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) :2 x - y + 2z - 8 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(3; 2; - 1) và song song (P). Gọi (R) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy), đồng thời (R) cách điểm B(- 3, 1; 5) một khoảng bằng Giả sử (R) có phương trình ax + by + d = 0 (a > 0, d < 0) a,b thuộc Z, (a, b) = 1 Giá trị của biểu thức b + d =
\(\left(P\right)//\left(Q\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;2\right)\)
\(\Rightarrow\left(Q\right):2\left(x-3\right)-\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(Q\right):2x-y+2z-2=0\)
Vectơ pháp tuyến của \(\left(Oxy\right)\) là \(\overrightarrow{n_2}=\left(0;0;1\right)\)
\(\left(R\right)\perp\left(Q\right)\&\left(Oxy\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_R}=\left[\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right]=\left(-1;-2;0\right)=\left(1;2;0\right)\)
\(\Rightarrow\left(R\right):x+2y+d=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\) thỏa \(a>0;\left(a;b\right)=1\)
\(d\left(B;\left(R\right)\right)=\dfrac{\left|-3+2.1+0.5+d\right|}{\sqrt{1^2+2^2+0^2}}=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left|d-1\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=6\\d=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow d=-4\left(d< 0\right)\)
\(\Rightarrow b+d=2-4=-2\)
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) :2 x - y + 2z - 8 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(3; 2; - 1) và song song (P). Gọi (R) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy), đồng thời (R) cách điểm B(- 3, 1; 5) một khoảng bằng \(\sqrt{5}\) Giả sử (R) có phương trình ax + by + d = 0 (a > 0, d < 0) a,b thuộc Z, (a, b) = 1 Giá trị của biểu thức b + d =
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\):
\[
\begin{cases}
x = 3 + t \\
y = 1 - 2t \\
z = 2 + 3t
\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).
\]
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Đường thẳng \(d\) nhận \(\vec{u} = (-1; 2; -3)\) là một vectơ chỉ phương.
b) Điểm \(A(2; 3; 1)\) thuộc đường thẳng \(d\).
c) Điểm \(B(1; -5; -4)\) không thuộc đường thẳng \(d\).
d) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\[
\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 2}{3}
\]
a) \(\left(d\right)\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)=\left(-1;2;-3\right)\) (2 véc tơ cùng phương với \(k=-1\))
\(\RightarrowĐúng\)
b) Giả sử \(A\left(2;3;1\right)\in\left(d\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2=3+t\left(1\right)\\3=1-2t\\1=2+3t\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow t=-1\) thay vào \(\left(2\right)\Rightarrow1=2+3.\left(-1\right)=-1\left(vô.lý\right)\)
\(\Rightarrow A\left(2;3;1\right)\notin\left(d\right)\Rightarrow Sai\)
c) Giả sử \(B\left(1;-5;-4\right)\in\left(d\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1=3+t\left(1\right)\\-5=1-2t\left(2\right)\\-4=2+3t\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow t=-2\) thay vào \(\left(2\right)\Rightarrow-5=1-2.\left(-2\right)=5\left(vô.lý\right)\)
\(\Rightarrow B\left(1;-5;-4\right)\notin\left(d\right)\RightarrowĐúng\)
d) Từ phương trình tham số của \(\left(d\right)\) ta được pt chính tắc :
\(\left(d\right):\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{3}\)
\(\Rightarrow Sai\)
Câu 2.
a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \( A(2;-3) \), \( B(4;7) \). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) là \( I(3;2) \).
b) Đường thẳng đi qua hai điểm \( A(-3;2) \) và \( B(1;4) \) có một vectơ chỉ phương của là \( \vec{u} = (-2;6) \).
c) Đường tròn \( (C) \) có tâm \( I(-2;-3) \) và đi qua \( M(2;-3) \) có phương trình là: \( (x-2)^2 + (y+3)^2 = 52 \).
d) Hypebol \( (H) : \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1 \) có độ dài trục ảo là 4.
a) \(I\) là trung điểm \(AB\Rightarrow I\left(\dfrac{2+4}{2};\dfrac{-3+7}{2}\right)=\left(3;2\right)\RightarrowĐúng\)
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)\)
\(\dfrac{4}{-2}\ne\dfrac{2}{6}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\left(-2;6\right)\Rightarrow Sai\)
c) \(R=IM=\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(-3+3\right)^2}=4\)
\(\Rightarrow\left(C\right):\left(x+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=16\Rightarrow Sai\)
d) \(\left(H\right):\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{16}=1\Rightarrow b^2=16\Rightarrow b=4\)
Độ dài trục ảo là \(2b=2.4=8\Rightarrow Sai\)
3) \( A(-3, 5, 9) \quad B(-4, 1, 2) \quad (P) \ 2x - y + 3 = 0 \quad (Q) \ 4x + y + z - 1 = 0 \)
a) Viết pt qua \( OAB \)
b) Viết pt mặt phẳng qua \( B \parallel (P) \). Song toạ thứ \( d \) \((a), (Q)\)
c) Viết pt mp \((\beta)\) qua \( A \) và \(\perp (P), \perp (Q)\)
