2xy-(y-x)=8-2y

=>2xy-y+x-8+2y=0

=>2xy+x+y-8=0

=>x(2y+1)+y+0,5-8,5=0

=>2x(y+0,5)+(y+0,5)=8,5

=>(2x+1)(y+0,5)=8,5

=>(2x+1)(2y+1)=17

=>(2x+1;2y+1)∈{(1;17);(17;1);(-1;-17);(-17;-1)}

=>(2x;2y)∈{(0;16);(16;0);(-2;-18);(-18;-2)}

=>(x;y)∈{(0;8);(8;0);(-1;-9);(-9;-1)}

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{FEC}+\hat{FBC}=180^0\)

mà \(\hat{FEC}+\hat{AEF}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)

Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

=>OA⊥EF

a: Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{FDH}=\hat{FBH}\) (BFHD nội tiếp)

\(\hat{EDH}=\hat{ECH}\) (DHEC nội tiếp)

mà \(\hat{FBH}=\hat{ECH}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

nên \(\hat{FDH}=\hat{EDH}\)

=>DH là phân giác của góc FDE

=>\(\hat{FDE}=2\cdot\hat{FDH}=2\cdot\hat{ABE}\)

Ta có: \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

=>B,F,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc đường tròn tâm M, đường kính BC

Xét (M) có \(\hat{FBE}\) là góc nội tiếp chắn cung FE

=>\(\hat{FME}=2\cdot\hat{FBE}=2\cdot\hat{ABE}\)

=>\(\hat{FME}=\hat{FDE}\)

=>FDME là tứ giác nội tiếp

Bài 5:

Gọi K là giao điểm của CO và BD

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBK

=>AC=BK và OC=OK

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có

DO chung

OC=OK

Do đó: ΔDOC=ΔDOK

=>DC=DK

=>DC=DB+BK=DB+AC

Bài 4:

a: a,b,c tỉ lệ thuận với 4;7;10

=>\(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=\frac{c}{10}\)

mà 2a+3b+4c=69

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=\frac{c}{10}=\frac{2a+3b+4c}{2\cdot4+3\cdot7+4\cdot10}=\frac{69}{40+21+8}=\frac{69}{69}=1\)

=>\(\begin{cases}a=4\cdot1=4\\ b=7\cdot1=7\\ c=10\cdot1=10\end{cases}\)

b: Gọi khối lượng gạo của mỗi phần được chia lần lượt là a(kg), b(kg), c(kg), d(kg)

(Điều kiện: a>0; b>0; c>0; d>0)

Bốn phần được chia tỉ lệ thuận với 4;7;8;12

=>\(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=\frac{d}{12}\)

Tổng khối lượng của bốn phần là 465kg

=>a+b+c+d=465

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=\frac{d}{12}=\frac{a+b+c+d}{4+7+8+12}=\frac{465}{31}=15\)

=>\(\begin{cases}a=15\cdot4=60\\ b=15\cdot7=105\\ c=15\cdot8=120\\ d=15\cdot12=180\end{cases}\) (nhận)

Vậy: khối lượng gạo của mỗi phần được chia lần lượt là 60(kg), 105(kg), 120(kg), 180(kg)

c: Đặt \(a=\hat{A};b=\hat{B};c=\hat{C}\)

Số đo của các góc A,B,C tỉ lệ thuận với 3;11;16

=>\(\frac{a}{3}=\frac{b}{11}=\frac{c}{16}\)

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>a+b+c=180

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{3}=\frac{b}{11}=\frac{c}{16}=\frac{a+b+c}{3+11+16}=\frac{180}{30}=6\)

=>\(\begin{cases}a=6\cdot3=18\\ b=6\cdot11=66\\ c=6\cdot16=96\end{cases}\Rightarrow\hat{A}=18^0;\hat{B}=66^0;\hat{C}=96^0\)

d: Gọi số tiền đơn vị thứ nhất, đơn vị thứ hai, đơn vị thứ ba đóng góp lần lượt là a(tỉ đồng), b(tỉ đồng), c(tỉ đồng)

(Điều kiện: a>0; b>0; c>0)

Ba đơn vị góp vốn kinh doanh theo tỉ lệ 3;5;7

=>\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}\)

Tổng số vốn là 12 tỉ đồng

=>a+b+c=12

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{3+5+7}=\frac{12}{15}=0,8\)

=>\(\begin{cases}a=0,8\cdot3=2,4\\ b=0,8\cdot5=4\\ c=0,8\cdot7=5,6\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số tiền đơn vị thứ nhất, đơn vị thứ hai, đơn vị thứ ba đóng góp lần lượt là 2,4(tỉ đồng), 4(tỉ đồng), 5,6(tỉ đồng)

Bài 1:

a: x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận

=>\(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{-2}{6}=-\frac13\)

=>y=-3x

b:

a: \(3\cdot\left(10\cdot x\right)=111\)

=>10x=111:3=37

=>x=3,7

b: 3(10+x)=111

=>10+x=111:3=37

=>x=37-10

=>x=27

c: 3+10x=111

=>10x=111-3=108

=>\(x=\frac{108}{10}=10,8\)

d: 3+(10+x)=111

=>13+x=111

=>x=111-13

=>x=98

a:

b:

c:

d:

e:

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)

=>\(AH=2\sqrt3\) (cm)

BC=HB+HC=3+4=7(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BA^2=3\cdot7=21\)

=>\(BA=\sqrt{21}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=DH^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=EH^2\)

\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2=AH^2\)

Gọi H là giao điểm của BD và aC

=>BH là phân giác của góc ABC

ΔBAC cân tại B

mà BH là đường phân giác

nên BH⊥AC tại H và H là trung điểm của AC

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHDC vuông tại H có

HA=HC

\(\hat{HAB}=\hat{HCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó;ΔHBA=ΔHDC

=>HB=HD

=>H là trung điểm của BD

Xét tứ giác ABCD có

H là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có BA=BC

nên ABCD là hình thoi