b: Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(\hat{IBC}+\hat{ICB}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Xét ΔIBC có \(\hat{IBC}+\hat{ICB}+\hat{BIC}=180^0\)

=>\(\hat{BIC}=180^0-60^0=120^0\)

c: Gọi IF là phân giác của góc BIC(F∈BC)

=>\(\hat{BIF}=\hat{CIF}=\frac12\cdot120^0=60^0\)

Ta có: \(\hat{BIC}+\hat{BIN}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{BIN}=180^0-120^0=60^0\)

Ta có: \(\hat{BIC}+\hat{MIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{MIC}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔBNI và ΔBFI có

\(\hat{NBI}=\hat{FBI}\)

BI chung

\(\hat{BIN}=\hat{BIF}\)

Do đó: ΔBNI=ΔBFI

=>BN=BF

Xét ΔCFI và ΔCMI có

\(\hat{FCI}=\hat{MCI}\)

CI chung

\(\hat{FIC}=\hat{MIC}\left(=60^0\right)\)

Do đó: ΔCFI=ΔCMI

=>CF=CM

BN+CM

=BF+CF

=BC

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là x(giờ)

(ĐIều kiện: x>0)

Trong 1 giờ, vòi I chảy được: \(\frac18\) (bể)

Trong 4 giờ, vòi I chảy được: \(4\cdot\frac18=\frac12\) (bể)

Trong 1 giờ, vòi II chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể)

trong 4+1=5 giờ, vòi II chảy được: \(5\cdot\frac{1}{x}=\frac{5}{x}\) (bể)

Do đó, ta có: \(\frac{5}{x}+\frac12=1\)

=>\(\frac{5}{x}=1-\frac12=\frac12=\frac{5}{10}\)

=>x=10(nhận)

Vậy: thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là 10(giờ)

1; Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

2: Gọi AK là đường kính của (O)

=>O là trung điểm của AK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{AKC}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{AKC}\)

XétΔADB vuông tại D và ΔACK vuông tại C có

\(\hat{ABD}=\hat{AKC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACK

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AK}\)

=>\(AB\cdot AC=AD\cdot AK=AD\cdot2R\)

3: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

AC⊥CK

BH⊥AC

Do đó:BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

Xét ΔAHK có

M,O lần lượt là trung điểm của KH,KA

=>MO là đường trung bình cua ΔAHK

=>MO=1/2AH

=>AH=2MO

Kẻ BH⊥AM tại H và CK⊥AM tại K

ΔBHM vuông tại H

=>BM là cạnh huyền

=>BM là cạnh lớn nhất trong ΔBHM

=>BH<=BM

ΔCKM vuông tại K

=>CM là cạnh lớn nhất trong ΔCKM

=>CK<=CM

Do đó: BH+CK<=BM+CM

=>d<=BC

Ta có: \(1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{567}-\frac{1}{568}\)

\(=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{568}-2\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{568}\right)\)

=\(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{568}-1-\frac12-\cdots-\frac{1}{284}\)

\(=\frac{1}{285}+\frac{1}{286}+\cdots+\frac{1}{568}\)

Ta có: \(C=\frac{\frac{1}{285}+\frac{1}{286}+\cdots+\frac{1}{568}}{1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{567}-\frac{1}{568}}\)

\(=\frac{\frac{1}{285}+\frac{1}{286}+\cdots+\frac{1}{568}}{\frac{1}{285}+\frac{1}{286}+\cdots+\frac{1}{568}}\)

=1

a: Xét ΔMEB vuông tại E và ΔMFC vuông tại F có

MB=MC

\(\hat{EMB}=\hat{FMC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMEB=ΔMFC

=>BE=CF

b: ΔBEM vuông tại E

=>BM là cạnh huyền

=>BM>BE

ΔCFM vuông tại F

=>CM là cạnh huyền

=>CM>CF

Do đó: BM+CM>BE+CF

=>2BM>2CF

=>BC>2CF

ΔDBC vuông cân tại D

=>\(\hat{DBC}=\hat{DCB}=45^0\)

Xét tứ giác ABDC có \(\hat{BAC}+\hat{BDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DAB}=\hat{DCB}=45^0;\hat{DAC}=\hat{DBC}=45^0\)

=>\(\hat{DAB}=\hat{DAC}\)

=>AD là phân giác của góc BAC

\(S_{ABCD}=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(\frac12\cdot AC\cdot BD=20\)

=>\(AC\cdot BD=40\)

=>4*AC=40

=>BD=10(cm)

a: Xét ΔDAB và ΔDEC có

DA=DE

\(\hat{ADB}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

DB=DC

Do đó: ΔDAB=ΔDEC

=>\(\hat{DAB}=\hat{DEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC

b: AB//EC

AB⊥ AC

Do đó: EC⊥ AC

ΔDAB=ΔDEC

=>AB=EC

Xét ΔKAB vuông tại A và ΔKCE vuông tại C có

KA=KC

AB=CE

Do đó: ΔKAB=ΔKCE

=>KB=KE

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0

=>\(4m^2-m<0\)

=>m(4m-1)<0

=>0<m<1/4

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m-1;x_1x_2=\frac{c}{a}=4m^2-m\)

\(2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_2<2\)

=>\(2\left(m-1\right)+3\left(4m^2-m\right)<2\)

=>\(12m^2-3m+2m-2<2\)

=>\(12m^2-m-4<0\)

=>\(m^2-\frac{1}{12}m-\frac13<0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{24}+\frac{1}{576}-\frac{145}{576}<0\)

=>\(\left(m-\frac{1}{24}\right)^2<\frac{145}{576}\)

=>\(-\frac{\sqrt{145}}{24}

=>\(\frac{-\sqrt{145}+1}{24}\) <m<\(\frac{\sqrt{145}+1}{24}\)

mà 0<m<1/4

nên 0<m<1/4