Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó; ΔABC vuông tại B

=>\(\hat{ABC}=90^0\)

Xét (O') có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>\(\hat{ABD}=90^0\)

\(\hat{CBD}=\hat{CBA}+\hat{DBA}=90^0+90^0=180^0\)

=>C,B,D thẳng hàng

Gọi tổng số mét đường mà ba tổ phải sửa là S(m)

(ĐIều kiện: S>0)

Gọi số mét đường ban đầu mà tổ 1; tổ 2; tổ 3 phải làm lần lượt là a(m), b(m), c(m)

(Điều kiện: a>0; b>0; c>0)

Số mét đường ban đầu mà tổ 1; tổ 2; tổ 3 phải làm lần lượt tỉ lệ với 5;6;7

=>\(\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{5+6+7}=\frac{S}{18}\)

=>\(\begin{cases}a=\frac{S}{18}\cdot5=\frac{25S}{90}\\ b=\frac{S}{18}\cdot6=\frac{S}{3}\\ c=\frac{S}{18}\cdot7=\frac{7S}{18}=\frac{35S}{90}\end{cases}\)

Gọi số mét đường thực tế mà tổ 1; tổ 2; tổ 3 phải làm lần lượt là x(m), y(m), z(m)

(Điều kiện: x>0; y>0; z>0)

Số mét đường lúc sau mà tổ 1; tổ 2; tổ 3 phải làm lần lượt tỉ lệ với 4;5;6

=>\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x+y+z}{4+5+6}=\frac{S}{15}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{S}{15}\cdot4=\frac{4S}{15}=\frac{24S}{90}\\ y=\frac{S}{15}\cdot5=\frac{S}{3}\\ z=\frac{S}{15}\cdot6=\frac{36}{90}S\end{cases}\)

Vì 36/90S>35/90S

nên đội 3 là đội phải làm nhiều hơn dự định là 10m đường

=>\(\frac{36}{90}S-\frac{35}{90}S=10\)

=>\(\frac{S}{90}=10\)

=>\(S=90\cdot10=900\) (m)

=>\(\begin{cases}x=\frac{4}{15}\cdot900=240\\ y=\frac{900}{3}=300\\ z=900\cdot\frac25=360\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số mét đường thực tế mà tổ 1; tổ 2; tổ 3 phải làm lần lượt là 240(m), 300(m), 360(m)

Bài 3:

a: Xét ΔNBC và ΔNDA có

NB=ND

\(\hat{BNC}=\hat{DNA}\) (hai góc đối đỉnh)

NC=NA

Do đó;ΔNBC=ΔNDA

b: ΔNBC=ΔNDA

=>BC=DA

ΔNBC=ΔNDA

=>\(\hat{NBC}=\hat{NDA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//AD

c: Xét ΔMAE và ΔMBC có

MA=MB

\(\hat{AME}=\hat{BMC}\) (hai góc đối đinh)

ME=MC

Do đó: ΔMAE=ΔMBC

=>\(\hat{MAE}=\hat{MBC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AE//BC

ΔMAE=ΔMBC

=>AE=BC

Ta có: AE//BC

AD//BC

mà AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

Ta có: AE=BC

AD=BC

Do đó: AD=AE
=>A là trung điểm của DE
Bài 2:

a: BẢng giá trị:

Vẽ đồ thị:

b: y=3

=>-3x=3

=>\(x=\frac{3}{-3}=-1\)

x=2

=>\(y=-3x=3\cdot2=-6\)

a: (326-43)+(174-57)

=326-43+174-57

=500-100

=400

b: (351-875)-(125-149)

=351-875-125+149

=500-1000

=-500

c: \(-415-\left\lbrace-215-\left\lbrack-115-\left(-315-2016\right)\right\rbrack\right\rbrace\)

=-415+215+[-115+315+2016]

=-200+[200+2016]

=-200+200+2016

=2016

d: [461+(-78)+40]+(-461)

=461-78+40-461

=-78+40

=-38

e: -323+[(-874)+564-241]
=-323-241+564-874

=-564+564-874

=-874

f: [(-59)+71]-[-83-(-95)]

=-59+71-(-83+95)

=12-12

=0

1: Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tính chất: Trong hình bình hành:

-Hai cạnh đối song song

-Hai cạnh đối bằng nhau

-Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết:

-Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành

-Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

-Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

-Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành

-Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

Bài 2:

Xét tứ giác ABCD có

AB=CD

AD=BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

a: BN là phân giác của góc ABD

=>\(\hat{ABN}=\hat{DBN}=\frac12\cdot\hat{ABD}\) (1)

CM là phân giác của góc ACE

=>\(\hat{ACM}=\hat{ECM}=\frac12\cdot\hat{ACE}\) (2)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{ABN}=\hat{DBN}=\hat{ACM}=\hat{ECM}\)

\(\hat{OBC}+\hat{OCB}=\hat{OBD}+\hat{DBC}+\hat{OCE}+\hat{ECB}\)

\(=\frac12\cdot\hat{ABD}+\frac12\cdot\hat{ACE}+\hat{HBC}+\hat{HCB}=\hat{ABD}+\hat{HBC}+\hat{HCB}\)

\(=\hat{ABC}+\hat{HCB}=90^0\)

=>ΔOBC vuông tại O

b: Xét ΔBOM vuông tại O và ΔBOH vuông tại O có

BO chung

\(\hat{OBM}=\hat{OBH}\)

Do đó: ΔBOM=ΔBOH

=>OM=OH

=>O là trung điểm của MH

Xét ΔCOK vuông tại O và ΔCON vuông tại O có

CO chung

\(\hat{OCK}=\hat{OCN}\)

Do đó: ΔCOK=ΔCON

=>OK=ON

=>O là trung điểm của NK

Xét tứ giác MNHK có

O là trung điểm chung của MH và NK

=>MNHK là hình bình hành

Hình bình hành MNHK có MH⊥NK

nên MNHK là hình thoi

a: Xét ΔABD và ΔAED có

AB=AE

\(\hat{BAD}=\hat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAED
=>DB=DE
b: ΔADB=ΔADC

ΔADB=ΔADE

Do đó: ΔADE=ΔADC

=>E trùng với C

=>AB=AC

4: \(\frac{5}{x-2}=\frac{5\cdot\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{5x+10}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(\frac{2x}{x^2-4}=\frac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

5: \(\frac{x-3}{x^2-2x+1}=\frac{x-3}{\left(x-1\right)^2}\)

\(\frac{3}{x-1}=\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{3x-3}{\left(x-1\right)^2}\)

6: \(\frac{3-x}{x+1}=\frac{\left(3-x\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-x^2+4x-3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\frac{x}{x^2-1}=\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

7: \(\frac{2}{x^2-6x+9}=\frac{2}{\left(x-3\right)^2}=\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}=\frac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}\)

\(\frac{-3}{x^2-9}=\frac{-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{-3\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}=\frac{-3x+9}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}\)

8: \(\frac{1-x}{5x-10}=\frac{1-x}{5\left(x-2\right)}=\frac{x\left(1-x\right)}{5x\left(x-2\right)}=\frac{x-x^2}{5x\left(x-2\right)}\)

\(\frac{1+x}{x^2-2x}=\frac{1+x}{x\left(x-2\right)}=\frac{5\left(x+1\right)}{5x\left(x-2\right)}=\frac{5x+5}{5x\left(x-2\right)}\)

9: \(\frac{4x-1}{x^3-x}=\frac{4x-1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\frac{4x}{1-x^2}=\frac{-4x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{-4x\cdot x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{-4x^2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

10: \(\frac{1-2x}{x^2-3x}=\frac{1-2x}{x\left(x-3\right)};\frac{3}{3-x}=\frac{-3}{x-3}=\frac{-3x}{x\left(x-3\right)}\)

11: \(\frac{2-x}{4x^2-4x+1}=\frac{2-x}{\left.\left(2x-1\right)^2\right.}=\frac{\left(2-x\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)^2\cdot\left(2x+1\right)}\)

\(\frac{1}{4x^2-1}=\frac{1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}=\frac{1\cdot\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2\cdot\left(2x+1\right)}=\frac{2x-1}{\left(2x-1\right)^2\cdot\left(2x+1\right)}\)

12: \(\frac{7x-1}{2x^3-18x}=\frac{7x-1}{2x\left(x^2-9\right)}=\frac{7x-1}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(\frac{5x-3}{x^2-9}=\frac{5x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{2x\left(5x-3\right)}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{10x^2-6x}{2x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

13: \(\frac{1-2x}{x^2+x+1}=\frac{1-2x}{x^2+x+1}\)

\(-2=\frac{-2\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{-2x^2-2x-2}{x^2+x+1}\)

a: Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó; MA=MC và OM là phân giác của góc AOC

ΔOAC cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AC

b: Xét (O) có

ΔAQB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó:ΔAQB vuông tại Q

=>AQ⊥MB tại Q

Xét ΔMAB vuông tại A có AQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MA^2\)

c: Xét tứ giác AIQM có \(\hat{AIM}=\hat{AQM}=90^0\)

nên AIQM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

=>A,I,Q,M cùng thuộc một đường tròn

a: Ta có: Dx//BC

=>\(\hat{xDC}=\hat{ACB}\) (hai góc so le trong)

=>\(\hat{ACB}=70^0\)

Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ACB}+\hat{ABC}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-40^0-70^0=70^0\)

c:

Xét ΔABC có \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\left(=70^0\right)\)

nên ΔABC cân tại A

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)

=>AH là phân giác của góc BAC