ΔDBC vuông cân tại D

=>\(\hat{DBC}=\hat{DCB}=45^0\)

Xét tứ giác ABDC có \(\hat{BAC}+\hat{BDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DAB}=\hat{DCB}=45^0;\hat{DAC}=\hat{DBC}=45^0\)

=>\(\hat{DAB}=\hat{DAC}\)

=>AD là phân giác của góc BAC

\(S_{ABCD}=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(\frac12\cdot AC\cdot BD=20\)

=>\(AC\cdot BD=40\)

=>4*AC=40

=>BD=10(cm)

a: Xét ΔDAB và ΔDEC có

DA=DE

\(\hat{ADB}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

DB=DC

Do đó: ΔDAB=ΔDEC

=>\(\hat{DAB}=\hat{DEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC

b: AB//EC

AB⊥ AC

Do đó: EC⊥ AC

ΔDAB=ΔDEC

=>AB=EC

Xét ΔKAB vuông tại A và ΔKCE vuông tại C có

KA=KC

AB=CE

Do đó: ΔKAB=ΔKCE

=>KB=KE

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0

=>\(4m^2-m<0\)

=>m(4m-1)<0

=>0<m<1/4

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m-1;x_1x_2=\frac{c}{a}=4m^2-m\)

\(2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_2<2\)

=>\(2\left(m-1\right)+3\left(4m^2-m\right)<2\)

=>\(12m^2-3m+2m-2<2\)

=>\(12m^2-m-4<0\)

=>\(m^2-\frac{1}{12}m-\frac13<0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{24}+\frac{1}{576}-\frac{145}{576}<0\)

=>\(\left(m-\frac{1}{24}\right)^2<\frac{145}{576}\)

=>\(-\frac{\sqrt{145}}{24}

=>\(\frac{-\sqrt{145}+1}{24}\) <m<\(\frac{\sqrt{145}+1}{24}\)

mà 0<m<1/4

nên 0<m<1/4

a: Sửa đề: ΔIKA~ΔIHB

Xét ΔIKA vuông tại K và ΔIHB vuông tại H có

\(\hat{KIA}=\hat{HIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIKA~ΔIHB

b: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCKB

c: ΔIKA~ΔIHB

=>\(\frac{IK}{IH}=\frac{IA}{IB}\)

=>\(\frac{IK}{IA}=\frac{IH}{IB}\)

=>\(IK\cdot IB=IH\cdot IA\)

d: Xét ΔIKH và ΔIAB có

\(\frac{IK}{IA}=\frac{IH}{IB}\)

\(\hat{KIH}=\hat{AIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIKH~ΔIAB

e: ΔCHA~ΔCKB

=>\(\frac{CH}{CK}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CK}{CB}\)

Xét ΔCHK và ΔCAB có

\(\frac{CH}{CA}=\frac{CK}{CB}\)

góc HCK chung

Do đó: ΔCHK~ΔCAB

Không có câu nào đúng

Bài 4: Thời gian cô Ân đi hết quãng đường là:

30:40=0,75(giờ)=45p>40p

=>cô Ân không thê đến được Bắc Ninh trong thời gian dự kiến

Gọi E là giao điểm của OB và AC

Ta có; AD là đường kính của (O)

=>\(OA=OD=\frac{AD}{2}=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>OB=OC=2cm

BA=BC

OA=OC

Do đó: OB là đường trung trực của AC

=>OB⊥AC tại E và E là trung điểm của AC

ΔBEC vuông tại E

=>\(EB^2+EC^2=BC^2\)

=>\(EB^2+EC^2=1\)

=>\(EC^2=1-EB^2\)

ΔOEC vuông tại E

=>\(EC^2+EO^2=CO^2=2^2=4\)

=>\(EC^2=4-EO^2=4-\left(2-BE\right)^2\)

Do đó: \(1-EB^2=4-\left(2-BE\right)^2\)

=>\(1-BE^2=4-\left(4-4\cdot BE+BE^2\right)\)

=>1=4-4+4*BE

=>BE=0,25(cm)

=>OE=2-0,25=1,75(cm)

Xét ΔACD có

O,E lần lượt là trung điểm của AD,AC

=>OE là đường trung bình của ΔACD
=>\(CD=2\cdot OE=2\cdot1,75=3,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 7:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)

=>BC=15(cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac34\)

=>\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=15cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{15}{7}\)

=>\(\begin{cases}DB=3\cdot\frac{15}{7}=\frac{45}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=4\cdot\frac{15}{7}=\frac{60}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

DE⊥AC

AB⊥ AC

Do đó: DE//AB

Xét ΔCAB có DE//AB

nên \(\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\)

=>\(\frac{DE}{9}=\frac{60}{7}:15=\frac47\)

=>\(DE=9\cdot\frac47=\frac{36}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: \(\frac{BD}{CD}=\frac34\)

=>\(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac34\)

Bài 4:

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc DAB chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

b: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có

\(\hat{EHB}=\hat{DHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEB~ΔHDC

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)

=>\(HE\cdot HC=HD\cdot HB\)

c: Ta có: BH⊥AC

CK⊥AC

Do đó: BH//CK

Ta có: CH⊥AB

BK⊥BA

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>CB cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

d: Hình bình hành BHCK trở thành hình thoi khi BH=HC

=>ΔHBC cân tại H

=>\(\hat{HBC}=\hat{HCB}\)

=>\(90^0-\hat{HBC}=90^0-\hat{HCB}\)

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>AB=AC

Bài 1: Gọi số sách ban đầu ở thư viện thứ nhất là x(quyển)

(ĐIều kiện: x∈N*)

Số sách ban đầu ở thư viện thứ hai là 20000-x(quyển)

Số sách lúc sau ở thư viện thứ nhất là x-2000(quyển)

Số sách lúc sau ở thư viện thứ hai là 20000-x+2000=22000-x(quyển)

Do đó, ta có: 22000-x=x-2000

=>-2x=-24000

=>x=12000(nhận)

Vậy: số sách ban đầu ở thư viện thứ nhất là 12000(quyển)

số sách ban đầu ở thư viện thứ hai là 20000-12000=8000(quyển)

Bài 8: Gọi số ban đầu có dạng là \(\overline{ab}\)

Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục nên b=2a

Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì số mới lớn hơn số ban đầu là 370

=>\(\overline{a1b}-\overline{ab}=370\)

=>100a+10+b-10a-b=370

=>90a=360

=>a=4

=>b=2a=8

Vậy: Số cần tìm là 48