Cho đường trong (O;R), đường kính AD, có dây AB không là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của (o) ở điểm C. Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho BED=30°.
a, tính BOD và BAD.
b, chứng minh CB là tiếp tuyến của (O)
c, cho bán kính của (O) bằng 15cm và dây AB=24cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC và chứng minh AD<AB+BD<2AD.
a: Xét (O) có \(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
nên \(\widehat{BOD}=2\cdot\widehat{BED}=60^0\)
Xét (O) có \(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
nên \(\widehat{BAD}=\dfrac{\widehat{BOD}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)
b: ΔOAB cân tại O
mà OC là đường cao
nên OC là phân giác của góc AOB
Xét ΔOAC và ΔOBC có
OA=OB
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)
OC chung
Do đó: ΔOAC=ΔOBC
=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}\)
=>\(\widehat{OBC}=90^0\)
=>CB là tiếp tuyến của (O)
c: Gọi H là giao điểm của OC và AB
ΔOAB cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của AB
=>\(HA=HB=\dfrac{AB}{2}=12\left(cm\right)\)
Xét ΔOHA vuông tại H có \(OH^2+HA^2=OA^2\)
=>\(OH=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)
Xét ΔOAC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OC=OA^2\)
=>\(OC=\dfrac{15^2}{9}=25\left(cm\right)\)
