Bài 4:

a: Xét ΔABI và ΔADI có

AB=AD

\(\hat{BAI}=\hat{DAI}\)

AI chung

Do đó ΔABI=ΔADI

=>IB=ID

b: Ta có: ΔABI=ΔADI

=>\(\hat{ABI}=\hat{ADI}\)

mà \(\hat{ABI}+\hat{IBE}=180^0\) (hai góc kề bù)

và \(\hat{ADI}+\hat{CDI}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{IBE}=\hat{IDC}\)

Xét ΔIBE và ΔIDC có

\(\hat{IBE}=\hat{IDC}\)

IB=ID

\(\hat{BIE}=\hat{DIC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔIBE=ΔIDC

c: ΔIBE=ΔIDC

=>BE=DC

Xét ΔAEC có \(\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{DC}\)

nên BD//CE

Bài 2:

a: Xét ΔCAD và ΔCED có

CA=CE

\(\hat{ACD}=\hat{ECD}\)

CD chung

Do đó: ΔCAD=ΔCED

=>\(\hat{CAD}=\hat{CED}\)

=>\(\hat{CED}=90^0\)

=>DE⊥BC tại E

b: Xét ΔMCA vuông tại C và ΔDAC vuông tại A có

AC chung

\(\hat{MAC}=\hat{DCA}\) (hai góc so le trong, AM//DC)

Do đó: ΔMCA=ΔDAC

=>AM=CD

a: \(f\left(x\right)=x^3-2x^2+ax+b\)

\(=x^3-3x^2+4x+x^2-3x+4+\left(a-1\right)x+b-4\)

\(=\left(x^2-3x+4\right)\left(x+1\right)+\left(a-1\right)x+b-4\)

Để f(x) chia hết cho g(x) thì a-1=0 và b-4=0

=>a=1 và b=4

b: \(f\left(x\right)=x^4-x^3-10x^2+ax+b\)

\(=x^4+2x^3+3x^2-3x^3-6x^2-9x-7x^2-14x-21\) +(a+23)x+b+21

\(=\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2-3x-7\right)\) +(a+23)x+b+21

Để f(x) chia hết cho g(x) thì a+23=0 và b+21=0

=>a=-23 và b=-21

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AI chung

IB=IC

AB=AC

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\hat{AIB}=\hat{AIC}\)

mà \(\hat{AIB}+\hat{AIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AIB}=\hat{AIC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI⊥BC tại I

b: ΔAIC vuông tại I

=>\(\hat{IAC}+\hat{ICA}=90^0\)

=>\(\hat{IAC}=90^0-50^0=40^0\)

Xét ΔCIA vuông tại I và ΔCID vuông tại I có

CI chung
IA=ID

Do đó: ΔCIA=ΔCID

=>\(\hat{IAC}=\hat{IDC}\)

=>\(\hat{IDC}=40^0\)

c: Xét ΔOBE vuông tại B và ΔOIA vuông tại I có

OB=OI

BE=AI

Do đó: ΔOBE=ΔOIA

=>\(\hat{BOE}=\hat{IOA}\)

mà \(\hat{IOA}+\hat{BOA}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BOE}+\hat{BOA}=180^0\)

=>A,O,E thẳng hàng

a: Xét ΔABC vuông tại A có sin ACB=\(\frac{AB}{BC}\)

=>BC=12:sin50≃15,66(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=BC^2-AB^2\)

=>\(AC=\sqrt{BC^2-BA^2}\) ≃10,06(cm)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}=90^0-50^0=40^0\)

BD là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABD}=\frac{40^0}{2}=20^0\)

Xét ΔABD vuông tại A có tan ABD=\(\frac{AD}{AB}\)

=>AD=AB*tan20=12*tan20≃4,37(cm)

AD+DC=AC

=>DC≃10,06-4,37=5,69(cm)

Ta có: \(11+2\left(\sqrt6+\sqrt{12}+\sqrt{18}\right)\)

\(=11+2\left(\sqrt{2\cdot3}+\sqrt{2\cdot6}+\sqrt{3\cdot6}\right)\)

\(=2+3+6+2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt3+2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt6+2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt6\)

\(=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6\right)^2\)

\(2\sqrt6+\sqrt3+4\sqrt2+3\)

\(=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6+3\sqrt2+3+\sqrt6\)

\(=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6\right)+\sqrt3\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6\right)=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6\right)\left(\sqrt3+1\right)\)

Ta có: \(P=\frac{2\sqrt6+\sqrt3+4\sqrt2+3}{\sqrt{11+2\left(\sqrt6+\sqrt{12}+\sqrt{18}\right)}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6\right)\left(\sqrt3+1\right)}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6}=\sqrt3+1\)

a: Thay x=0 và y=-3 vào (1), ta được:

\(2\cdot0+b=-3\)

=>b=-3

b:

Sửa đề; Có hoành độ bằng 2

Thay x=2 và y=0 vào (1), ta được:

2*2+b=0

=>b+4=0

=>b=-4

c: Thay x=1 và y=5 vào y=2x+b, ta được:

\(2\cdot1+b=5\)

=>b+2=5

=>b=5-2

=>b=3

d: THay x=2 vào y=x-1, ta được:

y=2-1=1

Thay x=2 và y=1 vào y=2x+b, ta được:

\(2\cdot2+b=1\)

=>b=1-4=-3

e: Phương trình hoành độ giao điểm là:

-2x+2=x-1

=>-3x=-3

=>x=1

Khi x=1 thì y=1-1=0

Thay x=1 và y=0 vào y=2x+b, ta được:

\(2\cdot1+b=0\)

=>b+2=0

=>b=-2

Gọi tổng số mét đường là S(m)

(Điều kiện: S>0)

Gọi số mét đường ban đầu tổ 1, tổ 2, tổ 3 được chia lần lượt là a(m), b(m), c(m)

(Điều kiện: a>0; b>0; c>0)

Số mét đường ban đầu mà tổ 1, tổ 2, tổ 3 được phân chia lần lượt tỉ lệ với 5;6;7

=>\(\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{5+6+7}=\frac{S}{18}\)

=>\(\begin{cases}a=\frac{S}{18}\cdot5=\frac{5S}{18}=\frac{25S}{90}\\ b=\frac{S}{18}\cdot6=\frac{S}{3}\\ c=\frac{S}{18}\cdot7=\frac{7S}{18}=\frac{35S}{90}\end{cases}\)

Gọi số mét đường lúc sau tổ 1, tổ 2, tổ 3 được chia lần lượt là x(m), y(m), z(m)

(Điều kiện: x>0; y>0; z>0)

Số mét đường lúc sau mà tổ 1, tổ 2, tổ 3 được phân chia lần lượt tỉ lệ với 4;5;6

=>\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x+y+z}{4+5+6}=\frac{S}{15}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{S}{15}\cdot4=\frac{4S}{15}=\frac{24S}{90}\\ y=\frac{S}{15}\cdot5=\frac{S}{3}\\ z=\frac{S}{15}\cdot6=\frac{6S}{15}=\frac{36S}{90}\end{cases}\)

Vì 24S/90<25S/90

nên tổ 1 là tổ được làm ít hơn dự định là 10m đường

=>a-x=10

=>\(\frac{25S}{90}-\frac{24S}{90}=10\)

=>\(\frac{S}{90}=10\)

=>\(S=90\cdot10=900\) (nhận)

=>\(\begin{cases}x=\frac{4}{15}\cdot900=240\\ y=900\cdot\frac13=300\\ z=900\cdot\frac25=360\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số mét đường lúc sau tổ 1, tổ 2, tổ 3 được chia lần lượt là 240(m), 300(m), 360(m)

\(15dm^268m^2=68,15m^2=0,006815ha\)

\(48\operatorname{cm}^227\operatorname{mm}^2=48,27\operatorname{cm}^2=0,4827dm^2\)

Sửa đề: \(B=\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac16\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{1225}\right)\)

Ta có công thức tổng quát: \(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)-2}{n\cdot\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+2\right)\left(n-1\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Ta có: \(B=\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac16\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{1225}\right)\)

\(=\left(1-\frac26\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{2}{2450}\right)\)

\(=\left(1-\frac{2}{2\cdot3}\right)\left(1-\frac{2}{3\cdot4}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{2}{49\cdot50}\right)\)

\(=\frac{\left(2+2\right)\left(2-1\right)}{2\left(2+1\right)}\cdot\frac{\left(3+2\right)\left(3-1\right)}{3\left(3+1\right)}\cdot\ldots\cdot\frac{\left(49+2\right)\left(49-1\right)}{49\cdot\left(49+1\right)}\)

\(=\frac{4\cdot1}{2\cdot3}\cdot\frac{5\cdot2}{3\cdot4}\cdot\ldots\cdot\frac{51\cdot48}{49\cdot50}=\frac{4\cdot5\cdot\ldots\cdot51}{3\cdot4\cdot\ldots\cdot50}\cdot\frac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot48}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot49}\)

\(=\frac{51}{3}\cdot\frac{1}{49}=\frac{17}{49}\)

ΔABC cân tại A

mà AH là đường trung tuyến

nên AH⊥BC tại H và AH là phân giác của góc BAC

Ta có: AH⊥BC

MK⊥BC

Do đó: AH//MK

=>\(\hat{ANM}=\hat{BAH}\) (hai góc so le trong) và \(\hat{AMN}=\hat{HAC}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{BAH}=\hat{HAC}\) (AH là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{ANM}=\hat{AMN}\)

=>ΔANM cân tại A

ΔAMN cân tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE⊥MN tại E

Xét tứ giác AEKH có \(\hat{AEK}=\hat{AHK}=\hat{EKH}=90^0\)

nên AEKH là hình chữ nhật