a+b+c=5

=>a+b=5-c

ab+b=b(a+1)\(\le\left(\frac{b + a + 1}{2}\right)^2=\frac{(a + b + 1)^2}{4}\)

=>\(ab + b \le \frac{(5 - c + 1)^2}{4} = \frac{(6 - c)^2}{4}\)

a,b,c>0

=>ab+b>0

=>\(\frac{c^3}{ab + b} \ge \frac{c^3}{\frac{(6 - c)^2}{4}} = \frac{4c^3}{(6 - c)^2}\)

4a+4b=4(a+b)=4(5-c)=20-4c

=>P>=20-4c+\(\frac{4c^3}{\left(6-c\right)^2}\)

\(\frac{4c^3}{(6 - c)^2} = \frac{4c^3}{(6 - c)^2} + (6 - c) + (6 - c) - 2(6 - c)\)

Theo Cosi, ta sẽ có:

\(\frac{4c^3}{(6 - c)^2} + (6 - c) + (6 - c) \ge 3 \sqrt[3]{\frac{4c^3}{(6 - c)^2} \cdot (6 - c) \cdot (6 - c)} = 3 \sqrt[3]{4c^3} = 3c \sqrt[3]{4}\)

\(\frac{4c^3}{(6 - c)^2}-\frac{25}{12}c+\frac{125}{36}\)

\(=\frac{144c^3 - (75c - 125)(36 - 12c + c^2)}{36(6 - c)^2}\)

\(= \frac{144c^3 - (75c^3 - 900c^2 + 2700c - 125c^2 + 1500c - 4500)}{36(6 - c)^2}\)

\(= \frac{69c^3 + 1025c^2 - 4200c + 4500}{36(6 - c)^2}\)

\(= \frac{(3c - 5)^2 (23c + 180)}{36(6 - c)^2} \ge 0 \quad \forall c \in (0, 5)\)

=>\(\frac{4c^3}{(6 - c)^2} \ge \frac{25}{12}c - \frac{125}{36}\) ∀c∈(0;5)

Dấu '=' xảy ra khi 3c-5=0

=>c=5/3

Do đó, ta có: \(P \ge 20 - 4c + \frac{25}{12}c - \frac{125}{36}\)

=>\(P \ge 20 - \frac{23}{12}c - \frac{125}{36}\)

=>\(P \ge 20 - 4\left(\frac{5}{3}\right) + \frac{4\left(\frac{5}{3}\right)^3}{\left(6 - \frac{5}{3}\right)^2}\)

=>\(P \ge 20 - \frac{20}{3} + \frac{4 \cdot \frac{125}{27}}{\frac{169}{9}} = \frac{40}{3} + \frac{500}{507} = \frac{7260}{507} = \frac{2420}{169}\)

Vậy: GTNN của P là 2420/169 khi a=b=c=5/3

THay x=0 và y=2 vào (P), ta được:

\(a\cdot0^2+b\cdot0+c=2\)

=>c=2

=>(P): \(y=a\cdot x^2+bx+2\)

Trục đối xứng là x=-3/2

=>\(\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{2}\)

=>6a=2b

=>b=3a

Thay x=3 và y=-4 vào (P), ta được:

\(a\cdot3^2+b\cdot3+2=-4\)

=>9a+3b=-6

=>3a+b=-2

=>3a+3a=-2

=>6a=-2

=>a=-1/3

=>b=3a=-1

Sửa đề: Xe thứ hai đi từ B về A hết 2 giờ

Vận tốc của xe thứ nhất là \(\frac{AB}{3}\) (km/h)

Vận tốc của xe thứ hai là \(\frac{AB}{2}\) (km/h)

Tỉ số giữa vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai là: \(\frac{AB}{3}:\frac{AB}{2}=\frac23\)

=>Tỉ số giữa độ dài quãng đường xe thứ nhất đi được so với độ dài quãng đường xe thứ hai đi được là 2/3

Hiệu số phần bằng nhau là 3-2=1(phần)

Độ dài quãng đường xe thứ nhất đi được là:

\(27:1\cdot2=54\left(\operatorname{km}\right)\)

Độ dài quãng đường AB là:

\(54:\frac{2}{2+3}=54:\frac25=54\cdot\frac52=135\left(\operatorname{km}\right)\)

a: x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

=>\(x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2\)

=>\(14\cdot y_1=21\cdot y_2\)

=>\(\frac{y_1}{21}=\frac{y_2}{14}\)

=>\(\frac{y_1}{3}=\frac{y_2}{2}\)

mà \(y_1-y_2=31\)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{y_1}{3}=\frac{y_2}{2}=\frac{y_1-y_2}{3-2}=\frac{31}{1}=31\)

=>\(y_1=31\cdot3=93;y_2=2\cdot31=62\)

b: \(k=x_1\cdot y_1=93\cdot14=1302\)

=>y=1302/x

Bổ sung hình:

Chiều rộng của mảnh vườn là 35-x(m)

Chiều dài của mảnh vườn là 60-x(m)

Diện tích mảnh vườn là: \(\left(35-x\right)\left(60-x\right)=x^2-95x+2100\left(m^2\right)\)

Diện tích cả vườn hoa là \(60\cdot35=2100\left(m^2\right)\)

Diện tích mảnh vườn là 2100-276=1824(m^2)

=>\(x^2-95x+2100=1824\)

=>\(x^2-95x+276=0\)

=>(x-92)(x-3)=0

=>x=92(loại) hoặc x=3(nhận)

Vậy: x=3

a: Xét (I) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>DE⊥BC tại E

Xét (O) có

ΔBCA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại C

=>BC⊥CA

mà DE⊥BC

nên DE//CA

=>DECA là hình thang

Hình thang DECA có DE⊥ EC

nên DECA là hình thang vuông

a: MD⊥AB

AC⊥ AB

Do đó: MD//AC

ME⊥AC

AB⊥ AC

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: ADME là hình chữ nhật

=>\(\hat{DME}=90^0\)

=>EQ⊥PD tại M

Xét tứ giác DEPQ có

M là trung điểm chung của DP và EQ

=>DEPQ là hình bình hành

Hình bình hành DEPQ có DP⊥EQ

nên DEPQ là hình thoi

\(\frac{x+3}{x^2+x-2}+\frac{4-x}{x^2+5x+6}\)

\(=\frac{x+3}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}-\frac{x-4}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{\left(x+3\right)^2-\left(x-4\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{x^2+6x+9-\left(x^2-5x+4\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{x^2+6x+9-x^2+5x-4}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{11x+5}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)

\(Q\left(x\right)=-5x^3+2x-3+2x-x^2-1+6x^3\)

\(=\left(-5x^3+6x^3\right)-x^2+\left(2x-2x\right)+\left(-3-1\right)\)

\(=x^3-x^2-4\)

ΔCAB vuông tại C

=>ΔCAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=>O là trung điểm của AB

I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>BI là phân giác của góc ABC; AI là phân giác của góc CAB

ΔBOI vuông tại O

=>\(\hat{BOI}=90^0\)

Xét ΔIBA có

IO là đường cao

IO là đường trung tuyến

Do đó: ΔIBA cân tại I

=>\(\hat{IBA}=\hat{IAB}\)

=>\(2\cdot\hat{IBA}=2\cdot\hat{IAB}\)

=>\(\hat{CBA}=\hat{CAB}\)

=>ΔCAB vuông cân tại C

=>CA=CB

ΔCAB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=CB^2+CB^2=2CB^2\)

=>\(AB=BC\sqrt2\)

\(CA:CB:AB=CB:CB:CB\sqrt2=1:1:\sqrt2\)