Bài 3: Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a(cm), b(cm), c(cm)

(Điều kiện: a>0; b>0; c>0)

Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 3;5;7

=>\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}\)

Tổng của cạnh lớn nhất và cạnh bé nhất dài hơn cạnh còn lại là 20cm

=>a+c-b=20

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=\frac{a+c-b}{3+7-5}=\frac{20}{5}=4\)

=>\(\begin{cases}a=4\cdot3=12\\ b=4\cdot5=20\\ c=4\cdot7=28\end{cases}\left(nhận\right)\)

Vậy: độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 12(cm), 20(cm), 28(cm)

Bài 5:

a: Ta có: \(AB=\frac{AC}{2}\)

\(AM=MC=\frac{AC}{2}\)

Do đó: AB=AM=MC

Xét ΔABD và ΔAMD có

AB=AM

\(\hat{BAD}=\hat{MAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAMD

=>\(\hat{ADB}=\hat{ADM}\)

=>DA là phân giác của góc BDM

b: ΔBAD=ΔMAD

=>\(\hat{ABD}=\hat{AMD}\)

=>\(\hat{AMD}=90^0\)

=>DM⊥AC tại M

Xét ΔDMC vuông tại M và ΔDMA vuông tại M có

DM chung

MC=MA

Do đó: ΔDMC=ΔDMA

=>\(\hat{DCM}=\hat{DAM}\) và DC=DA

c: Ta có: \(\hat{ACB}=\hat{DAC}\)

=>\(\hat{ACB}=\frac12\cdot\hat{BAC}\)

ΔBAC vuông tại B

=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=90^0\)

=>\(\hat{BAC}+\frac12\cdot\hat{BAC}=90^0\)

=>\(\frac32\cdot\hat{BAC}=90^0\)

=>\(\hat{BAC}=90^0:\frac32=60^0\)

=>\(\hat{BCA}=60^0\cdot\frac12=30^0\)

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC

=>BDEC là hình thang

b: Xét ΔBAC có

D,M lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>DM là đường trung bình của ΔBAC

=>DM//AC và \(DM=\frac{AC}{2}\)

DM//AC

=>DM//AE
\(DM=\frac{AC}{2}\)

\(AE=\frac{AC}{2}\)

Do đó: DM=AE

Xét tứ giác ADME có

DM//AE

DM=AE

Do đó: ADME là hình bình hành

c: Hình bình hành ADME trở thành hình chữ nhật khi \(\hat{DAE}=90^0\)

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

Bài 4.1:

\(A=\sqrt{2018}+\sqrt{2020}\)

=>\(A^2=2018+2020+2\cdot\sqrt{2018\cdot2020}\)

=>\(A^2=4038+2\cdot\sqrt{2019^2-1}\)

\(B^2=\left(2\sqrt{2019}\right)^2=4\cdot2019=2019\cdot2+2\cdot2019\)

\(=4038+2\cdot\sqrt{2019^2}\)

=>\(B^2>A^2\)

=>B>A

Bài 3:

a: \(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1-x+4}=\frac{\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x}}\)

b: \(P=\frac14\)

=>\(\frac{\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x}}=\frac14\)

=>\(4\left(\sqrt{x}-2\right)=3\sqrt{x}\)

=>\(4\sqrt{x}-3\sqrt{x}=8\)

=>\(\sqrt{x}=8\)

=>x=64(nhận)

c: Thay \(x=4+2\sqrt3\) vào P, ta được:

\(P=\frac{\sqrt{\left(\sqrt3+1\right)^2}-2}{3\cdot\sqrt{\left(\sqrt3+1\right)^2}}=\frac{\sqrt3+1-2}{3\left(\sqrt3+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt3-1}{3\left(\sqrt3+1\right)}=\frac{\left(\sqrt3-1\right)^2}{3\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)}=\frac{4-2\sqrt3}{3\cdot2}=\frac{2-\sqrt3}{3}\)

Bài 1:

a: ĐKXĐ: 2x-7>=0

=>x>=7/2

\(\sqrt{2x-7}=3\)

=>\(2x-7=3^2=9\)

=>2x=16

=>x=8(nhận)

b: \(\sqrt{\left(2x+3\right)^2}=5\)

=>|2x+3|=5

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+3=5\\ 2x+3=-5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=2\\ 2x=-8\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-4\end{array}\right.\)

c: ĐKXĐ: x>=2

\(\sqrt{4x-8}+\sqrt{x-2}=4+\frac13\cdot\sqrt{9x-18}\)

=>\(2\sqrt{x-2}+\sqrt{x-2}=4+\frac13\cdot3\sqrt{x-2}\)

=>\(\sqrt{x-2}=4\)

=>x-2=16

=>x=18(nhận)

d: \(\sqrt{x^2-6x+9}-\frac{\sqrt6+\sqrt3}{\sqrt2+1}=0\)

=>\(\sqrt{\left(x-3\right)^2}=\frac{\sqrt3\left(\sqrt2+1\right)}{\sqrt2+1}=\sqrt3\)

=>\(\left|x-3\right|=\sqrt3\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=\sqrt3\\ x-3=-\sqrt3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3+\sqrt3\\ x=3-\sqrt3\end{array}\right.\)

Trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của MN và AD

I∈MN⊂(MNE)

I∈AD⊂(SAD)

Do đó:I∈(MNE) giao (SAD)(1)

E∈(MNE); E∈SD⊂(SAD)

Do đó: E∈(MNE) giao (SAD)(2)

Từ (1),(2) suy ra (MNE) giao (SAD)=IE

Trong mp(ABCD), gọi K là giao điểm của MN và CD

K∈MN⊂(MNE)

K∈CD⊂(SCD)

Do đó: K∈(MNE) giao (SCD)(3)

E∈(MNE); E∈SD⊂(SCD)

Do đó: E∈(MNE) giao (SCD)(4)

Từ (3),(4) suy ra (MNE) giao (SCD)=EK

Trong mp(SDA), gọi J là giao điểm của EI và SA

J∈EI⊂(MNE)

J∈ SA∈(SAB)

Do đó: J∈(MNE) giao (SAB)(5)

M∈(MNE); M∈AB⊂(SAB)

Do đó: M∈(MNE) giao (SAB)(6)

Từ (5),(6) suy ra (MNE) giao (SAB)=MJ

25: Ta có: Ot là phân giác của góc AOB

=>\(\hat{tOA}=\hat{tOB}=\frac12\cdot\hat{AOB}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

Ta có: \(\hat{xAO}=\hat{tOA}\left(=30^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//Ot

Ta có: \(\hat{tOB}+\hat{OBy}=30^0+150^0=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên Ot//By

mà Ax//Ot

nên Ax//By

Bài 23:

Qua O, kẻ tia OM nằm giữa hai tia OA và OB sao cho OM//At

OM//At

=>\(\hat{yAt}=\hat{yOM}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{yOM}=25^0\)

Ta có: tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

=>\(\hat{AOM}+\hat{BOM}=\hat{AOB}\)

=>\(\hat{BOM}=55^0-25^0=30^0\)

Ta có: \(\hat{BOM}=\hat{xBz}\left(=30^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên Bz//OM

mà OM//At

nên At//Bz

Ta có: \(37,5\cdot6,5-7,5\cdot3,4-6,6\cdot7,5+3,5\cdot37,5\)

\(=37,5\cdot\left(6,5+3,5\right)-7,5\cdot\left(3,4+6,6\right)\)

\(=37,5\cdot10-7,5\cdot10=30\cdot10=300\)

Gọi số cây các lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt là a(cây), b(cây), c(cây)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Số cây các lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với 2;1,5;2,2

=>\(\frac{a}{2}=\frac{b}{1.5}=\frac{c}{2.2}\)

5 lần số cây lớp 7A trồng được nhiều hơn 4 lần số cây lớp 7B trồng được là 80 cây

=>5a-4b=80

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{1.5}=\frac{c}{2.2}=\frac{5a-4b}{5\cdot2-4\cdot1,5}=\frac{80}{10-6}=\frac{80}{4}=20\)

=>\(\begin{cases}a=20\cdot2=40\\ b=20\cdot1,5=30\\ c=20\cdot2,2=44\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số cây các lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt là 40(cây), 30(cây), 44(cây)

a: \(3x\left(x-4\right)-x\left(5+3x\right)=-34\)

=>\(3x^2-12x-5x-3x^2=-34\)

=>-17x=-34

=>x=2

b: \(\left(3x+1\right)^2+\left(5x-2\right)^2=34\left(x+2\right)\left(x-2\right)\)

=>\(9x^2+6x+1+25x^2-20x+4=34\left(x^2-4\right)\)

=>\(34x^2-14x+5=34x^2-136\)

=>-14x=-141

=>\(x=\frac{141}{14}\)

c: \(x^3+3x^2+3x+1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^3=0\)

=>x+1=0

=>x=-1

d: \(\left(x+3\right)^2-\left(2x-4\right)^2=3x\left(-x+2\right)\)

=>\(x^2+6x+9-\left(4x^2-16x+16\right)=-3x^2+6x\)

=>\(x^2+6x+9-4x^2+16x-16+3x^2-6x=0\)

=>16x-7=0

=>16x=7

=>\(x=\frac{7}{16}\)

e: \(8x^3-12x^2+6x-1=0\)

=>\(\left(2x-1\right)^3=0\)

=>2x-1=0

=>2x=1

=>x=1/2

Ta có: \(\left(3x^2+4x\right)\left(2x^2-3x+1\right)-2x^2\left(-3x^2+2x-3\right)\)

\(=6x^4-9x^3+3x^2+8x^3-12x^2+4x+6x^4-4x^3+6x^2\)

\(=12x^4-5x^3-3x^2+4x\)

Gọi thời gian đội 1 hoàn thành công việc khi làm một mình là x(giờ)

(Điều kiện: x>0)

Trong 1 giờ, 2 đội làm được: \(\frac{1}{15}\) (công việc)

Trong 1 giờ, đội 1 làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Trong 1 giờ, đội 2 làm được: \(\frac{1}{15}-\frac{1}{x}\) (công việc)

trong 3 giờ, đội 2 làm được: \(3\cdot\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{x}\right)=\frac15-\frac{3}{x}\) (công việc)

Trong 3+16=19 giờ, đội 1 làm được: \(19\cdot\frac{1}{x}=\frac{19}{x}\) (công việc)

Theo đề, ta có: \(\frac{19}{x}-\frac{3}{x}+\frac15=1\)

=>\(\frac{16}{x}=\frac45\)

=>\(x=16\cdot\frac54=20\) (nhận)

vậy: thời gian đội 1 hoàn thành công việc khi làm một mình là 20(giờ)

=>Trong 1 giờ, đội 2 làm được: \(\frac{1}{15}-\frac{1}{20}=\frac{1}{60}\) (công việc)

=>Thời gian đội 2 hoàn thành công việc khi làm một mình là: \(1:\frac{1}{60}=60\) (giờ)