Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương

Lời giải:

Nếu \(x=0\Rightarrow x^2y^2=-1\) (vô lý)

Nếu \(y=0\Rightarrow 6x^2=0\Leftrightarrow x=0\).Thay vào pt (2) thì \(1=5x^2=0\) (vô lý)

Vậy \(x,y\neq 0\)

PT tương đương: \(\left\{\begin{matrix} y(1+xy)=6x^2\\ (xy+1)^2-2xy=5x^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=\frac{6x^2}{y}\\ (xy+1)^2-2xy=5x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left(\frac{6x^2}{y}\right)^2-2xy=5x^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{36x^3}{y^2}-2y=5x\) (do \(x\neq 0\) )

\(\Leftrightarrow 36x^3-2y^3=5xy^2\)

Đặt \(x=ty\Rightarrow 36t^3y^3-2y^3-5ty^3=0\)

\(\Leftrightarrow 36t^3-2-5t=0\) (do \(y\neq 0\) )

\(\Leftrightarrow (2t-1)(18t^2+9t+2)=0\)

Thấy rằng \(18t^2+9t+2=18(t+\frac{1}{4})^2+\frac{7}{8}>0\) nên \(2t-1=0\)

\(\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}\Leftrightarrow 2x=y\)

Thay vào PT (1)

\(2x+4x^3=6x^2\Leftrightarrow 1+2x^2-3x=0\) (do x khác 0)

\(\Leftrightarrow (2x-1)(x-1)=0\)

Nếu \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=1\)

Nếu \(x=1\Rightarrow y=2\)

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy \((x,y)\in \left\{(\frac{1}{2};1); (1;2)\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1998\\2x+3y+4z=5992\end{matrix}\right.\)

\(1998\cdot2+y+2z=5992\)

\(y+2z=1996\) => y phải chắn

\(x>y>z>663\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(1\right)\Rightarrow663< z\le665\\\left(2\right)y< 668\end{matrix}\right.\)

=> y=666 duy nhất => z=665; x=667

.

Viết lại đề : \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\)=2017 ( ? )

ta có: \(\left(\sqrt{x^2+2017}+x\right)\left(\sqrt{x^2+2017}-x\right)=x^2+2017-x^2=2017\)

mà \(\left(\sqrt{x^2+2017}+x\right)\left(\sqrt{y^2+2017}+y\right)=2017\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2017}-x=\sqrt{y^2+2017}+y\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+2017}-\sqrt{y^2+2017}\)(1)

\(\left(\sqrt{y^2+2017}+y\right)\left(\sqrt{y^2+2017}-y\right)=2017\)

\(\Rightarrow\sqrt{y^2+2017}-y=\sqrt{x^2+2017}+x\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+2017}-\sqrt{x^2+2017}\)(2)

giờ cộng vế với vế (1) và (2) ta có: \(2\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x+y=0\)

\(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(1+a+1+b\right)}\)

\(=\sqrt{2+a+b}\le\sqrt{2+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(2\left(x+y\right)=xy+2\\ \Leftrightarrow2x+2y-xy-2=0\\ \Leftrightarrow x\left(2-y\right)+-2\left(2-y\right)+2=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2-y\right)=-2\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y-2=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2=-1\\y-2=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2=2\\y-2=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2=-2\\y-2=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là .....

Với \(a>0,b>0\) ta luôn có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

M = \(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{3x}{y}+\left(\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

Ta có: \(\left(\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4y}\cdot\dfrac{y}{x}}=1\)

Mặt khác: \(x\ge2y\) \(\Rightarrow\dfrac{3x}{4y}\ge\dfrac{3}{2}\)

Do đó \(M\ge\dfrac{5}{2}\) . Dâu ''='' xảy ra khi \(x=2y\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\dfrac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow x=2y\)

\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\) ≥ \(\dfrac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}\) ≥ \(\dfrac{2xy}{xy}\) ≥ 2

Các bn check hộ mk nhé...