PP : biến đổi tương đương
Bài làm
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)
Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )
Vậy..........
Còn cách dùng BĐT AM-GM nữa:
Vì x2\(\ge\)0 và y2\(\ge\)0
=> Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
x2 + y2 \(\ge\)\(2\sqrt{x^2\cdot y^2}\)=\(2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge2xy+2xy\)=\(4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Chia cả 2 vế của BĐT cho \(xy\left(x+y\right)\) ta có:
\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)(đpcm)
đpcm\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(do x,y>0)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Do \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)nên \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
giả sử \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)(1) là đúng.
suy ra
\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\\ \Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (2)
vì BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng
Ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{x+y}=\dfrac{x+y}{xy}-\dfrac{4}{x+y}\)
\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{x^2+2xy+y^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\) =
=\(\dfrac{x^2-2xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)
mà \(\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\) với x, y >0
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{x+y}\ge0\) với x, y >0
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với x, y >0
vậy \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với x, y >0
(tick nha 
)
