Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Big City Boy

Chứng minh với a, b lớn hơn 0 thì: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\). Áp dụng tìm GTNN của \(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) biết x+y=1 và x, y dương

Đõ Phương Thảo
23 tháng 1 2021 lúc 21:32

Có: A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) =\(\dfrac{x+y}{xy}\) =\(\dfrac{1}{xy}\) ( do x+y=1)

     Áp dụng bđt \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ,dâú bằng xảy ra khi a=b, ta có:

A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) =\(\dfrac{1}{xy}\) ≥ \(\dfrac{2}{x+y}\) =\(\dfrac{2}{1}\) =2 ( x+y=1)

dấu bằng xảy ra khi x=y=0,5. 

c/m bđt \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ⇔ a+b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

                                    ⇔(a+b)2 ≥ 4ab 

                                     ⇔a2 +b2 +2ab≥ 4ab

                                      ⇔(a-b)≥ 0 (luôn đúng)

   dấu bằng xảy ra khi a=b.

👁💧👄💧👁
23 tháng 1 2021 lúc 21:33

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(\circledast\right)\\ \Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vậy BĐT (*) được chứng minh.

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)

__________________________________

 \(\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\\ \Rightarrow\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow A=\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)

Vậy GTNN của A = 4

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Nguyễn Duy Khang
23 tháng 1 2021 lúc 21:36

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}\)

Theo đề bài, ta có:

 \(\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\\ \Leftrightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1^2}{4}=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow A\le\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)

Vậy \(A_{min}=4\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
23 tháng 1 2021 lúc 21:48

Ta có: \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\)  \(\forall a,b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)  (đpcm) \(\Rightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\)

Mặt khác: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\) 

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{4}=4\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

  Vậy \(Min_A=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Quang Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Nhân
Xem chi tiết