Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Karry Angel

1.Cho x, y \(\ge\)0 và x+ y=1

Chứng minh rằng : \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)

2. Cho \(a,b,c\ge0\).Chứng minh rằng:

a, \(a^3+b^3>ab\left(a+b\right)\)

b, \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+ b^2c+c^2a\)

3. Cho x+ y+ z=3 và x, y, z>0. Chứng minh rằng:

a, \(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

b, \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{3}{2}\)

Bùi Nhất Duy
8 tháng 8 2017 lúc 17:22

1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)

TFBoys
8 tháng 8 2017 lúc 19:40

2.

a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

b) Lần trước mk giải rồi nhá

3.

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)

\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Karry Angel
Xem chi tiết
Hùng Mạnh
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Ex Crush
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết
Hạ Băng
Xem chi tiết
Hàn Băng Di
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
Bùi Khánh Ly
Xem chi tiết