Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ex Crush

1/ Chứng minh công thức Hê-rông

2/ Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}.\)

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 11 2018 lúc 16:19

1/ Đây là cách chứng minh dựa vào kiến thức lớp 9, không sử dụng các định lý hàm sin hoặc hàm cos của cấp 3:

Bạn tự vẽ hình.

Kẻ tam giác ABC với đường cao AH, ta đặt

\(BC=a;AC=b;AB=c;AH=h_a;BH=x\Rightarrow CH=a-x\)

Trong tam giác vuông ABH: \(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow c^2=x^2+h^2_a\) (1)

Trong tam giác vuông ACH: \(AC^2=CH^2+AH^2\Rightarrow b^2=\left(a-x\right)^2+h^2_a\) (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:

\(c^2-b^2=x^2-\left(a-x\right)^2=2ax-a^2\Rightarrow x=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\)

Thay x vào (1) ta được:

\(h^2_a=c^2-x^2=c^2-\left(\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2=\left(c-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\left(c+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)\right)\left(a^2+2ac+c^2-b^2\right)}{4a^2}\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a-c\right)^2\right)\left(\left(a+c\right)^2-b^2\right)}{4a^2}\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)}{4a^2}\) (3)

Gọi \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác

\(\Rightarrow a+b+c=2p\) ; \(a+b-c=2\left(p-c\right)\) ; \(b+c-a=2\left(p-a\right)\) ; \(a-b+c=2\left(p-b\right)\)

Thay vào (3) ta được:

\(h_a^2=\dfrac{2\left(p-a\right)2\left(p-c\right)2p.2\left(p-b\right)}{4a^2}=\dfrac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{a^2}\)

\(\Rightarrow h_a=\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}\)

Mà ta đã biết công thức tính diện tích tam giác:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}h_a.a\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}.a=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

đề bài khó wá
13 tháng 11 2018 lúc 16:52

Bài 2:

Áp dụng đẳng thức : \(a^2+b^2\ge2ab\) (xảy ra đẳng thức khi a = b),ta có :

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}=\dfrac{2x}{z}\)

Tương tự : \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{z}\), \(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được :

\(2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\left(\text{đpcm}\right)\)

đề bài khó wá
13 tháng 11 2018 lúc 17:01

1 Tham khảo :

*Công thức hê rông:
S= căn của : [ p.( p-a) . (p- b). (p -c) ] với : p = ( a + b +c )/2 , a ,b ,c là các cạnh của tam giác

S = 1/2.bc.sinC <=> 4S² = b²c².sin²A
4S² = b²c²(1 - cos²A) = b²c²(1 - cosA)(1 + cosA)
= b²c²[1 - (b² + c² - a²)/2bc].[1 + (b² + c² - a²)/2bc]
= b²c²(2bc - b² - c² + a²)/2bc.(2bc + b² + c² - a²)/2bc
<=> 16S² = [a² - (b - c)²].[(b + c)² - a²]
= (a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)
<=>16S² = 16p(p - a)(p - b)(p - c)
<=> S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
13 tháng 11 2018 lúc 15:53

Bài 2 . Theo BĐT Cô - Si ta có :

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge\dfrac{2x}{z}\)

\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\)

\(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)

Cộng vế theo vế ta được :

\(2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z


Các câu hỏi tương tự
Karry Angel
Xem chi tiết
Bùi Khánh Ly
Xem chi tiết
Hùng Mạnh
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
Hạ Băng
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
ITACHY
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết