`a)`Có : \(\begin{cases}\hat{NMH}+\hat{PMH}=90^0\\ \hat{HMP}+\hat{HPM}=90^0\end{cases}\) (`ΔNMP` vuông ; `MH⊥NP`)

Xét `ΔHMN` và `ΔHPM` có :

\(\begin{cases}\hat{NHM}=\hat{PHM}=90^0\\ \hat{NMH}=\hat{MPH}\left(\operatorname{cm}t\right)\end{cases}\)

`=>ΔHMN∼ΔHPM`(g-g)

`=> MH/HP = MN/MH`

`=> MH^2 = HP*MN`(dpcm)

`b)`xét `ΔMNH` và `ΔMHP` đều vuông tại `H`

có :\(cos\hat{MNH}=\frac{NH}{NM};cos\hat{MPH}=\frac{PH}{MP}\)

`=>`\(MN\cdot cos\hat{MNP}+MP\cdot cos\hat{MPN}=MN\cdot\frac{NH}{MN}+MP\cdot\frac{HP}{MP}\)

`=NH + HP = NP`(đpcm)

a: Vì 56⋮8

nên 8 là ước của 56

Vì 104⋮8

nên 8 là ước của 104

Gọi độ dài mặt cầu trượt là BC, độ cao là AB

Theo đề, ta có: AB⊥ AC tại A, AB=2,4m; \(\hat{C}=34^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}\)

=>BC=AB/sinC=2,4:sin34≃4,29(m)

=>Độ dài mặt cầu trượt là 4,29 mét

Cầu trượt được mô hình hóa như một tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) , trong đó:

Góc dốc của cầu trượt là: \(\widehat{B} = 34^\circ\)

Độ cao của cầu trượt ( cạnh đối góc \(\widehat{B}\) ) là: \(\) \(AC=2,4m\)

Độ dài của mặt cầu trượt (\(\) cạnh huyền của tam giác vuông )là: \(BC\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông \(ABC\) , ta có:

\(\sin \widehat{B} = \frac{AC}{BC}\)

\(\Longrightarrow\) độ dài mặt cầu trượt \(BC\) là:

\(BC=\frac{AC}{\sin\widehat{B}}=\frac{2,4}{\sin34^\circ}\approx\frac{2,4}{0,5592}\approx4,29m\)

Đáp số: \(4,29m\)

Bài 15: \(A=cos^4a+cos^2a\cdot\sin^2a+\sin^2a\)

\(=cos^2a\left(\sin^2a+cos^2a\right)+\sin^2a\)

\(=\sin^2a+cos^2a=1\)

Bài 14: \(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

\(\hat{HAC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔAHC vuông tại H)

Do đó: \(\hat{HAC}=\hat{ABC}=60^0\)

Xét ΔHAC vuông tại H có tan HAC=\(\frac{HC}{HA}\)

=>\(\frac{HC}{HA}=\tan60=\sqrt3\)

=>\(HC=HA\cdot\sqrt3\)

=>\(HC-HA\cdot\sqrt3=0\)

13,

Mô hình hóa bài toán thành tam giác vuông \(ABC\) vuông tại chân cột đèn, trong đó:

Chiều cao cột đèn là cạnh đối: \(AC\)

Bóng của cột đèn trên mặt đất là cạnh kề: \(AB=5m\)

Góc giữa tia nắng và mặt đất: \(\widehat{B}=60^{\circ}\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

\(AC=AB\cdot\tan\widehat{B}=5\cdot\tan60^{\circ}=5\sqrt{3}\approx8,66m\)

Vậy chiều cao của cột đèn rơi vào khoảng 8,7 m

14,

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat{B} = 60^\circ\)

\(\Longrightarrow\widehat{C}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)

Xét tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\) :

Cạnh đối diện với góc \(\) \(\widehat{C} = 30^\circ\) là cạnh \(\widehat{C} = 30^\circ\) , nên ta có: \(\tan \widehat{C} = \frac{AH}{CH} \implies AH = CH \cdot \tan 30^\circ = CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Longrightarrow\sqrt{3}AH=CH\)

Thay vào biểu thức tính: \(CH - \sqrt{3}AH = CH - CH = 0\)

Vậy \(CH-\sqrt{3}AH=0\)

Bài 17: Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin20=20\cdot\sin20\) ≃6,840\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

16,

Gọi độ cao của tòa nhà I là \(h\) (m).

Chiều cao vị trí quan sát \(D\) ở tòa nhà II là \(\) \(HD=10m\) (với \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(D\) sang phía tòa nhà I, hoặc xét theo cùng mốc mặt đất).

Khoảng cách từ vị trí quan sát \(D\) đến tòa nhà I là \(x\) (m).

Cột ăng-ten \(TF=3m\)

Góc nhìn lên đỉnh \(T\) là \(\alpha = 50^\circ\) , góc nhìn lên chân \(F\) (chính là nóc tòa nhà I) là \(\beta = 40^\circ\)

Xét tam giác vuông tạo bởi góc nhìn chân ăng-ten \(F\) (nóc tòa nhà I):

\(\tan 40^\circ = \frac{h - 10}{x} \implies x \cdot \tan 40^\circ = h - 10 \quad (1)\)

Từ phương trình (1), ta có: \(x=\frac{h - 10}{\tan40^\circ}\)

Thế vào (2):

\(\frac{h - 10}{\tan 40^\circ} \cdot \tan 50^\circ = h - 7\)

\(\Leftrightarrow(h-10)\cdot\frac{\tan50^\circ}{\tan40^\circ}=h-7\)

\(\) \(\Leftrightarrow h\approx\frac{7,203}{0,4203}\approx17,14m\)

17,

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC})\)

\(\) \(\Leftrightarrow S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin(20^{\circ})\)

\(S = 20 \cdot \sin(20^\circ)\)

\(\sin(20^\circ) \approx 0,342020\)

\(S \approx 20 \cdot 0,342020 \approx 6,8404\text{cm}^2\)

Vậy S \(ABC\) \(\approx\) \(6,840\operatorname{cm}^2\)