$S=ab+bc+ca,\ P=abc$

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=a+b+c-8$

$\Rightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\ge a+b+c-8$

$\Rightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}\ge a+b+c-8$

$\Rightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{27}\ge a+b+c-8\qquad (\text{AM-GM})$

$\Rightarrow t^2-27t+216\ge0\quad (t=a+b+c)$

$\Rightarrow (t-9)(t-24)\ge0$

$\Rightarrow t\ge9$

$ab+bc+ca+abc=abc(t-8)+abc=abc(t-7)$

$\le \left(\dfrac t3\right)^3(t-7)$

$\le \left(\dfrac93\right)^3(9-7)=54$

Dấu ``='' khi $a=b=c=3$.

$\max(ab+bc+ca+abc)=54.$

Gọi $S=\dfrac{a^3}{(a-b)(a-c)(a-d)}+\dfrac{b^3}{(b-a)(b-c)(b-d)}+\dfrac{c^3}{(c-a)(c-b)(c-d)}+\dfrac{d^3}{(d-a)(d-b)(d-c)}$.

Xét đa thức: $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$.

Khi đó:

$P'(a)=(a-b)(a-c)(a-d)$,

$P'(b)=(b-a)(b-c)(b-d)$,

$P'(c)=(c-a)(c-b)(c-d)$,

$P'(d)=(d-a)(d-b)(d-c)$.

Do đó: $S=\dfrac{a^3}{P'(a)}+\dfrac{b^3}{P'(b)}+\dfrac{c^3}{P'(c)}+\dfrac{d^3}{P'(d)}$.

Theo công thức nội suy Lagrange, với mọi đa thức $f(x)$ có bậc nhỏ hơn $4$ thì hệ số của $x^3$ trong $f(x)$ bằng:

$\displaystyle \sum \frac{f(a_i)}{P'(a_i)}$.

Chọn $f(x)=x^3$.

Hệ số của $x^3$ trong $f(x)$ bằng $1$.

Suy ra: $\dfrac{a^3}{P'(a)}+\dfrac{b^3}{P'(b)}+\dfrac{c^3}{P'(c)}+\dfrac{d^3}{P'(d)}=1$.

Vậy: $S=1$.

\(\begin{cases}\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-1}=10\\ \frac{1}{x-1}-\frac{3}{y-1}=10\end{cases}\)

Đặt `1/(x-1) =a`

`1/(y-1)=b`

`=>`\(\begin{cases}5a+b=10\left(1\right)\\ a-3b=10\left(2\right)\end{cases}\)

Từ `(2)` ta có : `a= 10+3b(3)`

Thay vào `(1)` ta đc :

`5(10 +3b) + b= 10`

`=> 50 + 15b +b =10`

`=> 16b = -40`

`=> b = -5/2`

Thay `b = -5/2` và `(3)` ta có :

`a = 10 +3*(-5/2) = 5/2`

Từ `a= 5/2 => 1/(x-1) = 5/2`

`=> 5x-5 = 2`

`=> 5x = 7`

`=> x=7/5`

Từ `b = -5/2 => 1/(y-1) = -5/2`

`=> -5y + 5 = 2`

`=> -5y = -3`

`=> y = 3/5`

cho a = b = c = 1 nhá

Mik gửi ạ!

Bài 2:

Xét tứ giác BHCF có

M là trung điểm chung của BC và HF

=>BHCF là hình bình hành

=>BH//CF và BF//CH

BH//CF

BH⊥AC

Do đó: CF⊥CA

=>C nằm trên đường tròn đường kính AF(1)

BF//CH

CH⊥AB

Do đó: BF⊥BA

=>B nằm trên đường tròn đường kính AF(2)

Từ (1),(2) suy ra A,B,F,C cùng thuộc đường tròn đường kính AF

=>AF là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔAGF nội tiếp

AF là đường kính

Do đó; ΔAGF vuông tại F

=>AG⊥GF tại G

=>AG⊥GH tại G

Ta có; \(\hat{AGH}=\hat{AEH}=\hat{ADH}=90^0\)

=>A,G,E,H,D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Bạn thử để ngày mai vô xem, tại app mới lên điểm dễ bị lỗi lắm

Bài 6:

a: \(B=\frac{x}{x+3}+\frac{2x}{x-3}-\frac{9-3x^2}{9-x^2}\)

\(=\frac{x\left(x-3\right)+2x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{3x^2-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{x^2-3x+2x^2+6x-3x^2+9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{3x+9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{3}{x-3}\)

b: |2x+1|=5

=>2x+1=5 hoặc 2x+1=-5

=>2x=4 hoặc 2x=-6

=>x=2(nhận) hoặc x=-3(loại)

Thay x=2 vào B, ta được:

\(B=\frac{3}{2-3}=\frac{3}{-1}=3\)

c: \(B\left(x+10\right)-6=0\)

=>\(\frac{3\left(x+10\right)}{x-3}-6=0\)

=>3(x+10)-6(x-3)=0

=>x+10-2(x-3)=0

=>x+10-2x+6=0

=>16-x=0

=>x=16(nhận)

Bài 5:

a: Thay x=-6 vào B, ta được;

\(B=\frac{-6+4}{-6+2}=\frac{-2}{-4}=\frac12\)

b: \(A=\frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-2}+\frac{-5x-2}{x^2-4}\)

\(=\frac{4\left(x-2\right)+3\left(x+2\right)-5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{4x-8+3x+6-5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{2x-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{2}{x+2}\)

c: C=A:B

\(=\frac{2}{x+2}:\frac{x+4}{x+2}=\frac{2}{x+4}\)

\(C\left(x^2-16\right)=5x+7\)

=>\(\frac{2\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x+4}=5x+7\)

=>5x+7=2(x-4)=2x-8

=>3x=-15

=>x=-5(nhận)

Bài 1 :

`A=((x^2-3)/(x^2-9)+1/(x-3)) : x/(x+3)`

`A=((x^2-3)/((x-3)(x+3)) + (x+3)/((x-3)(x+3))) * ( x+3)/x`

`A=(x^2-3+x+3)/((x-3)(x+3)) * (x+3)/x`

`A=(x*(x+1))/((x-3)(x+3)) * (x+3)/x`

`A=(x+1)/(x-3)`

`b)` thay `x=4` ta có :

`A=(4+1)/(4-3) = 5`

`c)`Thay `A=3`

`=> (x+1)/(x-3)=3`

`=> x+1 = 3x-9`

`=> -2x = -10`

`=> x=5`

Bài 3:

` A= ((a+2)/(x+1) - (a-2)/(a-1)) * (a+1)/a`

`A= (((a+2)(a-1))/((a+1)(a-1)) - ((a-2)(a+1))/((a-1)(a+1))) * (a+1)/a`

`A= ((a^2+a-2)/((a-1)(a+1)) - (a^2-a-2)/((a-1)(a+1))) * (a+1)/a`

`A = (a^2+a-2 -a^2 +a +2)/((a-1)(a+1)) * (a+1)/a`

`A= 2a/((a+1)(a-1)) * (a+1)/a = 2/(a-1)`

`b)`để `B=1` thì :

`3/(a^2 - 1) =1`

`=> a^2 - 1 = 3`

`=> a^2 = 4`

`=> a = 2` hoặc `a=-2`

`c)` Có `A=2B`

`=> 2/(a-1) = 2*(3/(a^2-1))`

`=> 2(a-1) = 6/((a-1)(a+1))`

`=> (2a+2)/((a-1)(a+1) = 6/((a-1)(a+1))`

`=> 2x+2=6`

`=> 2x=4`

`=> x=2`