ĐKXĐ: x>0; x<>4
\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{x+4}{4-x}\right):\frac{x}{x-2\sqrt{x}}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{-2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{-2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=-\frac{2}{\sqrt{x}}\)
Đặt t = √x, t ≥ 0, x = t^2
Khi đó
B = ( t/(2 + t) + (t^2 + 4)/(4 − t^2) ) : ( t^2/(t^2 − 2t) )
Ta có
4 − t^2 = (2 − t)(2 + t)
⇒ (t^2 + 4)/(4 − t^2) = (t^2 + 4)/[(2 − t)(2 + t)]
Quy đồng
t/(2 + t) = t(2 − t)/[(2 + t)(2 − t)]
⇒ tổng
= [t(2 − t) + (t^2 + 4)] /[(2 + t)(2 − t)]
= (2t − t^2 + t^2 + 4)/[(2 + t)(2 − t)]
= (2t + 4)/[(2 + t)(2 − t)]
= 2(t + 2)/[(2 + t)(2 − t)]
⇒ B = [2(t + 2)/((2 + t)(2 − t))] : [t^2/(t(t − 2))]
= [2(t + 2)/((2 + t)(2 − t))] × [(t(t − 2))/t^2]
Rút gọn
(t + 2) = (2 + t), (t − 2) = −(2 − t)
⇒ B = 2 × [t(t − 2)] / [t^2(2 − t)]
= 2 × [t(−(2 − t))]/[t^2(2 − t)]
= −2t / t^2 = −2/t
⇒ B = −2/√x
Điều kiện x > 0, x ≠ 4
