Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

Tìm tất cả bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}\) là số hữu tỉ đồng thời (y+2)(4zx+6y-3) là số chính phương.

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 5 2020 lúc 16:40

\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{m}{n}\) (với m;n nguyên dương và nguyên tố cùng nhau)

\(\Leftrightarrow nx+ny\sqrt{2017}=my+mz\sqrt{2017}\)

\(\Leftrightarrow nx-my=\left(mz-ny\right)\sqrt{2017}\)

Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}nx-my=0\\mz-ny=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n}{m}=\frac{y}{x}\\\frac{n}{m}=\frac{z}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\Rightarrow y^2=zx\)

\(\left(y+2\right)\left(4zx+6y-3\right)=\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\)

Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)

\(\Leftrightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}y+2=a^2\\4y^2+6y-3=b^2\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên dương

Xét \(4y^2+6y-3=b^2\Leftrightarrow16y^2+24y-12=\left(2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3-2b\right)\left(4y+3+2b\right)=21\)

\(\Rightarrow y=2\) (thỏa mãn \(y+2=a^2\))

\(\Rightarrow xz=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)

Vậy ta có các bộ \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Duyen Đao
Xem chi tiết
Cố Gắng Hơn Nữa
Xem chi tiết
Linh nè
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
SuSu
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết