Question

Tìm giá trị nguyên của x để M=\(x^4+\left(x+1\right)^3-2x^2-2x\) là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Nguyễn Bùi Đại Hiệp: 1 bài bạn chỉ nên đăng 1 lần để tránh loãng box toán nhé.

\(M=x^4+(x+1)^3-2x^2-2x=x^4+x^3+3x^2+3x+1-2x^2-2x\)

\(=x^4+x^3+x^2+x+1\)

Để $M$ là scp thì $4M=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$ cũng phải là scp.

Ta thấy:

$4M=(4x^4+4x^3+x^2)+4(2x^2+x)+4-5x^2=(2x^2+x)^2+4(2x^2+x)+4-5x^2$

$=(2x^2+x+2)^2-5x^2\leq (2x^2+x+2)^2(1)$

Và:

$4M=(4x^4+4x^3+x^2)+3x^2+4x+4=(2x^2+x)^2+2x^2+x^2+2(x+1)^2+2> (2x^2+x)^2(2)$

Vậy:

$(2x^2+x)^2< 4M\leq (2x^2+x+2)^2$

Theo nguyên lý kẹp thì để $4M$ là scp thì $4M=(2x^2+x+1)^2$ hoặc $4M=(2x^2+x+2)^2$

Giải cả 2 TH này ra ta thu được $x=3; x=-1; x=0$ là các đáp án cần tìm.

Vậy...........