C1: Dùng BĐT Shwarz ta có:
\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{4}=1\)
Đẳng thức của BĐT Shwarz xảy ra khi
\(\frac{a^2}{1+a}=\frac{b^2}{1+b}\)
\(\Leftrightarrow a^2+a^2b=b^2+ab^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+ab\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+ab\right)=0\)
Vậy a=b=1..Ko bk thì hỏi cách 2
C2: Dự đoán điểm rơi a=b=1 thay vào đc M=1, vậy MIN M=1
Vậy ta cần CM: \(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\ge\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(1+b\right)+b^2\left(1+a\right)-\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge0\)
Mà (1+a)(1+b)>0 với a,b dương nên cần chứng minh
\(a^2+a^2b+b^2+ab^2-1-a-b-ab\ge0\)
Ta có: VT=\(\left(a+b\right)^2-2ab+ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)-ab-1\)
\(\Leftrightarrow VT=4-2ab+2ab-2-ab-1\)
\(\Leftrightarrow VT=1-ab\)(1)
Áp dụng cosi ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow2\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow1\ge ab\)
Vậy (1) luôn \(\ge0\)
Nên ta có ĐPCM
SUy ra MIN M=1 với a=b=1
Sử dụng Cauchy thuần cũng đơn giản thôi:
\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(1+a\right)}{4\left(1+a\right)}}=a\) ; \(\frac{b^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge b\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{2+a+b}{4}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow M+\frac{4}{4}\ge2\Leftrightarrow M\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)