Hic hic nhìn cái đề muốn nản
\(\left(C_1\right)\) : \(y=3-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\)
Xét \(\left(C_2\right)\):
- Với \(x>-1\Rightarrow y=m+1\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(3-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=m+1\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=2-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=m\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}+\frac{1}{\left(x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=2\Rightarrow f\left(x\right)< 2\) \(\forall x>-1\)
Hơn nữa hàm \(f\left(x\right)\) liên tục, xác định khi \(x>-1\)
\(\Rightarrow y=m\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 1 điểm với \(m< 2\), \(y=m\) không cắt \(y=f\left(x\right)\) với \(m\ge2\) (1)
- Với \(x\le-1\) \(\Rightarrow\left(C_2\right):y=-2x-1+m\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(g\left(x\right)=4-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+2x=m\)
\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}+\frac{1}{\left(x+3\right)^2}+2>0\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên từng khoảng xác định
Ta có BBT của \(g\left(x\right)\) như sau:
\(\Rightarrow y=m\) luôn cắt \(y=g\left(x\right)\) tại 3 điểm phân biệt (2)
Từ (1) và (2) ta có kết luận:
- Với \(m< 2\) thì \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt
- Với \(m\ge2\) thì \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
