Question

Cho hàm số : y = \(\frac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+\frac{2}{3}\)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=0

2. Với giá trị nào của m thì đồ thị HS trên cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1;x_2;x_3\) thỏa mãn điều kiện: \(x_1^2+x^2_2+x_3^2>15\)

Answer 1

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+\frac{2}{3}=0\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{1}{3}x^2+\left(\frac{1}{3}-m\right)x-m-\frac{2}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\frac{1}{3}x^2+\left(\frac{1}{3}-m\right)x-m-\frac{2}{3}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Để pt (1) có 3 nghiệm phân bieetk <=> pt( 2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

=> Đưa về bài toán pt bậc 2 sử dụng định lí Viet để làm bài trên