Question

giải hệ phương trình sau

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=4\frac{y}{x}\\y-3x=4\frac{x}{y}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

Trừ theo vế 2 PT ta có:

\(4x-4y=4\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-y=\frac{y^2-x^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow (x-y)+\frac{(x-y)(x+y)}{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left(1+\frac{x+y}{xy}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x-y)(xy+x+y)}{xy}=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-y=0\\ xy+x+y=0\end{matrix}\right.\)

TH1: $x-y=0\Rightarrow x=y$

Thay vào PT(1): \(x-3y=4\frac{y}{x}\Leftrightarrow -2x=4\Rightarrow y=x=-2\)

TH2: \(xy+x+y=0\Rightarrow x+y=-xy\)

Lấy PT(1)+PT(2):

\(-2(x+y)=4\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)=\frac{4(x^2+y^2)}{xy}=\frac{4(x+y)^2-8xy}{xy}\)

\(\Leftrightarrow 2xy=\frac{4(-xy)^2-8xy}{xy}=4xy-8\)

\(\Leftrightarrow xy=4\Rightarrow x+y=-xy=-4\)

Áp dụng định lý Viet đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt $X^2+4X+4=0$

$\Rightarrow (x,y)=(-2,-2)$

Vậy $(x,y)=(-2,-2)$

Answer 2

Lời giải:

Trừ theo vế 2 PT ta có:

\(4x-4y=4\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-y=\frac{y^2-x^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow (x-y)+\frac{(x-y)(x+y)}{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left(1+\frac{x+y}{xy}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x-y)(xy+x+y)}{xy}=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-y=0\\ xy+x+y=0\end{matrix}\right.\)

TH1: $x-y=0\Rightarrow x=y$

Thay vào PT(1): \(x-3y=4\frac{y}{x}\Leftrightarrow -2x=4\Rightarrow y=x=-2\)

TH2: \(xy+x+y=0\Rightarrow x+y=-xy\)

Lấy PT(1)+PT(2):

\(-2(x+y)=4\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)=\frac{4(x^2+y^2)}{xy}=\frac{4(x+y)^2-8xy}{xy}\)

\(\Leftrightarrow 2xy=\frac{4(-xy)^2-8xy}{xy}=4xy-8\)

\(\Leftrightarrow xy=4\Rightarrow x+y=-xy=-4\)

Áp dụng định lý Viet đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt $X^2+4X+4=0$

$\Rightarrow (x,y)=(-2,-2)$

Vậy $(x,y)=(-2,-2)$